第27课时 对数函数的运用VIP专享VIP免费

第27课时对数函数的运用教学目标：使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.教学重点：复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学难点：复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学过程：［例1］设loga＜1，则实数a的取值范围是A.0＜a＜B.＜a＜1C.0＜a＜或a＞1D.a＞解：由loga＜1＝logaa得(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞，∴a＞1综合（1）(2)得：0＜a＜或a＞1答案：C［例2］三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是A.0.76＜log0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log0.76C.log0.76＜60.7＜0.76D.log0.76＜0.76＜60.7解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0答案：D［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小解法一：作差法|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝||－||＝(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x∴上式＝－[（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－·lg(1－x2)由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法二：作商法＝|log(1－x)(1+x)|∵0＜x＜1∴0＜1－x＜1+x∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)由0＜x＜1∴1+x＞1，0＜1－x2＜1∴0＜(1－x)(1+x)＜1∴＞1－x＞0∴0＜log(1－x)＜log(1－x)(1－x)＝1∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|解法三：平方后比较大小∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)·loga＝·lg(1－x2)·lg用心爱心专心∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1∴lg(1－x2)＜0，lg＜0∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|解法四：分类讨论去掉绝对值当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时，其充要条件是：解得a＜－1或a＞又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.所以a的取值范围是：（－∞，－1]∪（，+∞）［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小解：易知f(x)、g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞）f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(x).①当x＞1时，若x＞1，则x＞，这时f(x)＞g(x).若x＜1，则1＜x＜，这时f(x)＜g(x)②当0＜x＜1时，0＜x＜1，logxx＞0，这时f(x)＞g(x)故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（，+∞）时，f(x)＞g(x)当x∈（1，）时，f(x)＜g(x)［例6］解方程：2(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]解：原方程可化为(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]∴9x－1－5＝4(3x－1－2)即9x－1－4·3x－1+3＝0∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0∴3x－1＝1或3x－1＝3∴x＝1或x＝2经检验x＝1是增根∴x＝2是原方程的根.［例7］解方程log2（2-x－1）(2-x+1－2)＝－2解：原方程可化为：log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2用心爱心专心即：log2(2-x－1)[log2(2-x－1)＋1]＝2令t＝log2(2-x－1)，则t2＋t－2＝0解之得t＝－2或t＝1∴log2(2-x－1)＝－2或log2(2-x－1)＝1解之得：x＝－log2或x＝－log23用心爱心专心