第20课时 斜线在平面内的射影习题课VIP免费

第20课时斜线在平面内的射影习题课教学目标：使学生正确区分各个概念，并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。教学重点、难点：问题的分析、论证。教学过程：复习定义、定理。例1：已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角三角形。证明：过A作AD⊥BC于D，连结A′D∵AA′⊥α，BCα∴AA′⊥BC∴BC⊥A′D∵tan∠BAD＝＜tan∠BA′D＝tan∠CAD＝＜tan∠CA′D＝∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角。推广：（1）图中，若∠ABC、∠ACB均为钝角，则射影角较大。（2）若∠ABC、∠ACB中有一钝角，则射影角较小。（3）锐角的一边与面平行或者在面内，另一边是面的斜线时，射影角较小。（4）角的两边都是面的斜线，顶点在面上时，大小关系不确定。例2：如图，直角三角形ABC在平面α上的射影是正三角形A1B1C1，且AA1＝5，BB1＝4，CC1＝3，求Rt△ABC中，斜边BC的长。解：过C作CD∥B1C1，CF∥A1C1，过B作BE∥A1B1则△BCD、△ABE、△ACF均为Rt△，且CD＝CF＝BE设为a，∴BC2＝a2＋4，AC2＝a2＋1，AB2＝a2＋1得：a2＝2∴BC＝＝例3：如图，四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正切值。解：过A作AO⊥面BCD，连结OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心作QP⊥OD∵QP∥AO∴QP⊥面BCD连结CP，则∠QCP即为所求的角设四面体的棱长为a，则：正△ACD中，Q是AD的中点∴CQ＝a∵QP∥AO，Q是AD的中点∴QP＝AO＝＝a＝a得：sin∠QCP＝＝练习题：如图，线段AB的两端在平面α的同侧，斜线段AM、BN所在的直线分别与平面α成300、600的角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝2，AB＝6（1）求证：AB∥α；（2）求MN的长。（1）证明：作A、B在平面α上的射影A′、B′连结MA′、NB′、A′B′。（1）（2）在Rt△AMA′中，AM＝6，∠AMA′＝300，AA′⊥A′M∴AA′＝AM＝3，同理：BB′＝BN＝3∴AA′＝BB′且AA′∥BB′∴四边形AA′B′B为平行四边形∵AB∥A′B′，且ABα∴AB∥α（2）解：∵AM⊥AB，AB∥A′B′∴A′B′⊥AM又：A′B′⊥AA′，AM∩AA′＝A∴A′B′⊥面AMA′∴A′B′⊥A′M同理：A′B′⊥B′N∴MA′∥NB′又：MA′＝AM·cos300＝3NB′＝BN·cos600＝由（1）知，A′B′＝AB＝6如图（1），则MN＝＝4如图（2），则MN＝＝2课堂小结：注意空间想象和空间问题转化为平面问题的方法，并紧密联系有关的定义、定理等。课后作业：