7.6直线与圆的位置关系巩固·夯实基础一、自主梳理1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相交和相切.(2)直线l:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判定方法有两种：①几何方法直线l与圆M|MN|=其中|MN|是圆心到直线的距离.②代数方法由消去y(或消去x)，可得形如x2+px+q=0的方程，设Δ=p2-4q，则直线l与M(3)计算直线被圆截得的弦长的常用方法：①几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算.②代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|=.2.圆与圆的位置关系的判定设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0),则有|C1C2|>r1+r2⊙C1与⊙C2相离；|C1C2|=r1+r2⊙C1与⊙C2相切；|r1-r2|<|C1C2|0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（）A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为. d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于()A.B.C.1D.5解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.答案：A3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为（）A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0解法一：x2-4x+(kx-k+)2=0.该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k=.∴y-3=(x-1),即x-y+2=0.解法二： 点(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又 圆心为(2,0),∴·k=-1.解得k=,∴切线方程为x-y+2=0.答案：D4.圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为_________________.解析：由题意知圆的半径r==2.故圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.答案：(x-1)2+(y-2)2=45.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是___________________________________________.解析：圆心(1,0)，垂直平分线斜率为k，满足k·(-)=-1.∴k=.用心爱心专心2∴方程为y=(x-1)，即3x-2y-3=0.答案：3x-2y-3=0诱思·实例点拨【例1】(1)求过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程；(2)过点M(2,4)向圆引两条切线，切点为P、Q，求P、Q所在直线方程(简称切点弦).剖析：(1)用点斜式设直线方程时，要分斜率存在、不存在两种情况讨论；(2)点M、圆心C、切点P、Q四点共圆，直线PQ为两圆公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程.解：(1)当所求切线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0.∴=1.解得k=，即切线方程为24x-7y-20=0.当k不存在时，切线方程为x=2.故所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.(2)连结CP、CQ，则CP⊥PM，CQ⊥QM.∴M、P、Q、C四点共圆.其圆是以CM为直径的圆. C(1,-3),∴CM的中点为(,).|CM|==5.∴以CM为直径的圆的方程为(x-)2+(y-)2=.∴PQ的方程为(x-1)2+(y+3)2-1-［(x-)2+(y-)2-］=0，即x+7y+19=0.【例2】求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.剖析：根据已知,可通过解方程组得圆上两点,由圆心在直线x-y-4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程.也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ［x2+(y+3)2-37］=0,再由圆心在直线x-y-4=0上,定出参数λ,得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ［x2+(y+3)2-37］=0.展开、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+.圆心为(-,-),代入方程x-y-4=0,得λ=-7.故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2=.讲评：圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1、C2相交,那么过两圆公共点的圆系方程...
