高中数学导数的概念—平均变化率苏教版选修2-2VIP免费

导数的概念—平均变化率教学目的：知识与技能：了解曲线的切线的概念奎屯王新敞新疆过程与方法：掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．情感、态度与价值观：并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程。教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。教学过程：学生探究过程：导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学.所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流奎屯王新敞新疆一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线奎屯王新敞新疆二、讲解新课：１．曲线的切线用心爱心专心切线xOy如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点奎屯王新敞新疆作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT奎屯王新敞新疆我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线奎屯王新敞新疆y=f(x)xyQMPxOyy=f(x)xyQMPxOy2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了奎屯王新敞新疆设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=奎屯王新敞新疆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线也可以求出它在某一点处的切线了.三、讲解范例：例1曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k=∴切线的斜率为2.切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.用心爱心专心y=x2+1y=2xP(1,2)xOy例2求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.解:k=∴切线的方程为y－4=5(x－1)，即y=5x－1例3求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α.解： tanα= α∈［0，π，∴α=π.∴切线的倾斜角为π.用心爱心专心y=x3+2x+1y=5x-1P(1,4)xOy例4求曲线y=sinx在点()处的切线方程.解：k=∴切线方程是，即例5y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.解：设点P的坐标(x0，x03)∴斜率3=∴3x02=3，x0=±1∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1)奎屯王新敞新疆四、巩固练习：1．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=∴点A处的切线的斜率为4.用心爱心专心(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－22.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.解：k=∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发奎屯王新敞新疆...