高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例教案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案VIP免费

4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教学目标1．会用数学归纳法证明简单的不等式．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．二、课时安排1课时三、教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式．四、教学难点会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．五、教学过程（一）导入新课复习数学归纳法的基本思想。（二）讲授新课教材整理用数学归纳法证明不等式1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．（三）重难点精讲题型一、数学归纳法证明不等式例1已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).【精彩点拨】先求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．【自主解答】(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.[再练一题]1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…”.试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，∴猜想：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)>，当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．例2证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．【精彩点拨】⇒⇒【自主解答】(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)， k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．规律总结：1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．[再练一题]2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．【证明】(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝. 左边＞右边，∴不等式成立；(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即…＞.则当n＝k＋1时，…＞·＝＝＞＝＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型二、不等式中的探索、猜想、证明例3若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．【自主解答】当n＝1时，＋＋>，则>，∴a<26.112(1)1k2(1)12k又a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.(1)n...