高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教案（含解析）北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学教案VIP免费

1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程：(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？在实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．(2)复数：把形如a＋bi的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)．复数通常表示为z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)复数的实部与虚部：对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作实部与虚部．(4)复数的分类：复数a＋bi(a，b∈R)2．复数集复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.显然RC.复数的相等问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，则复数a＋bi和c＋di相等吗？提示：相等．问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以．问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量OZ＝(a，b)有何对应关系？提示：一一对应．问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与OZ有何对应关系？1提示：一一对应．1．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2．复数的几何意义(1)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．(2)一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ＝(a，b)是一一对应的．3．复数的模设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1]复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．[思路点拨]分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析](1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．(3)当即m＝2时，z为纯虚数．[一点通]复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.1．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为()A．－1B．4C．－1或4D．不存在解析：选B由条件知，∴∴m＝4.2．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；2②若复数x＋yi(x，y∈R)是实数，则x＝0，y＝0；③若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；④若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等．其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B对于①，若a＝－1时，(a＋1)i为实数；对于②，若x＋yi(x，y∈R)是实数，则y＝0；对于③，因为a＋i和b＋i是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知④正确.复数的相等[例2](1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；(2)设z1＝1＋sinθ－icosθ，z2＝＋(cosθ－2)i.若z1＝z2，求θ.[思路点拨]先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析](1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则θ＝2kπ(k∈Z)．[一点通]复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才...