10．1.2复数的几何意义[课程目标]1.理解复数集和复平面上点集的一一对应关系；会用向量表示复数；2.了解复数的几何意义；3.理解复数的模等有关概念．知识点一复平面[填一填]建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴．知识点二复数的几何意义[填一填]因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量OZ，所以复数也可用向量OZ来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi↔向量OZ＝(a，b)．如图：由此可知复数的表示形式有三种：①代数形式：a＋bi；②复平面内的点Z(a，b)；③平面向量OZ(O为坐标原点)．[答一答]1．怎样理解复数的几何意义？提示：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点O，若起点不统一，是原点以外的点，复数与向量就不能建立一一对应关系．(2)Z(a，b)与向量OZ是复数z＝a＋bi(a，b∈R)的另外两种表示形式，它们都是复数z的几何表示．(3)为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或说成向量OZ，并且规定：相等向量表示同一个复数．知识点三共轭复数[填一填]如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi.显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．[答一答]2．共轭复数有哪些性质？提示：(1)当复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部b＝0时，有z＝z，即任一实数的共轭复数仍然是它本身．当b≠0时，a＋bi与a－bi叫做互为共轭虚数．显然，在复平面内，表示两个共轭虚数的点关于实轴对称，并且它们的模相等，如图．(2)共轭复数的性质：①z∈R⇔z＝z；②z是纯虚数⇔z＋z＝0，且z≠0；③对任意复数z都有z＋z∈R.知识点四复数的模[填一填]向量OZ＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.当b＝0时，|z|＝＝|a|，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广．[答一答]3．如何理解和应用复数的模？提示：(1)复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模都可以比较大小．(2)复数的模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示z对应的点Z(a，b)到原点的距离．(3)复数的模、复数对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是一致的．(4)虚数的模是实数，可以比较大小，但虚数不能比较大小．类型一复数与复平面内对应点的关系[例1]实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：(1)位于第二象限；(2)位于直线y＝x上．[分析]位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．[解]根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．(1)由点Z位于第二象限，得解得－2
