第十章复数10．1复数及其几何意义10．1.1复数的概念[课程目标]1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及分类[填一填](1)复数的概念①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．②当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.(2)复数的分类所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．[答一答]1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？提示：实数集R是复数集C的真子集，即RC.至此，我们学过的有关数集的关系如下：复数z＝a＋bi(a，b∈R)知识点二复数相等[填一填]两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2.如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0.[答一答]2．怎样理解两复数相等的概念？提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i和3－i,2和i之间就无大小可言．(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．两个不全为实数的复数不能比较大小．(1)根据复数a＋bi与c＋di相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：①若a0，则acb，则a＋i>b＋i.[分析]本题考查复数的基本概念和基本性质．[解](1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.(3)错误．两个虚数不能比较大小．1.虚数单位i具有i2＝－1的性质.2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.3.复数z的平方未必为非负数.[变式训练1]下列命题正确的是(1)．(1)复数－i＋1的虚部为－1.(2)若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.(3)任意两个复数都不能比较大小．解析：(1)复数－i＋1＝1－i，虚部为－1.正确．(2)若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小．错误．(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．类型二复数的分类[例2]已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[分析]根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值．[解](1)当z为实数时，∴∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，∴∴不存在实数a，使得z为纯虚数．本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.[变式训练2]实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有∴∴m＝2.∴m＝2时，z为纯虚数．(4)要使z＝0时，依复数相等的充要条件有：⇒⇒m＝3，∴当m＝3时，复数z为零．类型...
