11.3.3平面与平面平行[课程目标]1.掌握两个平面平行的定义及两个平面的位置关系；2.掌握两个平面平行的判定定理及推论，并能熟练应用；3.掌握两个平面平行的性质定理，并能熟练应用．知识点平面和平面平行[填一填]1．平面与平面的位置关系2.两个平面平行的判定定理(1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)符号表示：l⊂β，m⊂β，l∩m≠∅，l∥α，m∥α⇒β∥α.(3)图形表示：利用直线与平面平行的判定定理，我们可以得到：推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理(1)文字叙述：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)符号表示：α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m⇒l∥m.(3)图形表示：4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．符号表示：α∥β，a⊂α⇒a∥β.[答一答]1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．2．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．3．如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定平行吗？为什么？提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．类型一两个平面的位置关系[例1](1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.[变式训练1]已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题，其中正确的命题的个数是(A)①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β.A．0B．1C．2D．3解析：①不正确，n∥α，过n作平面β与α相交，n与其交线平行，m⊂α，m不一定与其交线平行；②不正确，设α∩β＝l，m∥l，也可有m∥α，且m∥β；③不正确，有m⊂α或m⊂β的可能.类型二面面平行的判定定理[例2]如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.[证明]如图，在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.又AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．...
