11．1.6祖暅原理与几何体的体积[课程目标]1.了解柱体、锥体、台体和球体的体积的计算公式；2.会利用柱体、锥体、台体和球体的体积公式解决一些简单的实际问题．知识点一祖暅原理[填一填]1．内容：幂势既同，则积不容异．2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．[答一答]1．如何理解祖暅原理？提示：祖暅原理中的“幂”指“面积”，“势”指“高度”，“幂势既同”意思是两个几何体“在等高处的截面面积相等”，“积”则指“体积”或“容积”．知识点二柱体、锥体的体积[填一填]1．如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.等底面积、等高的两个柱体，体积相等．2．如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝Sh.等底面积、等高的两个锥体，体积相等．[答一答]2．求柱体的体积的关键是什么？提示：由柱体的体积公式知，柱体的体积仅与它的底面积和高有关．而与是几棱柱，是否为直棱柱无关，故求柱体体积的关键是求底面积和高．3．求三棱锥的体积时有什么技巧？试总结一下．提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥．知识点三台体、球的体积[填一填]1．如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h.2．如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝πR3.[答一答]4．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：(2)体积公式之间的关系：知识点四组合体[填一填]1．概念：由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．2．基本形式：有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体．[答一答]5．怎样分析与球有关的组合体问题？提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC的内切圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．用同样的方法可得以下结论：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．类型一柱体的体积命题视角1：棱柱的体积[例1]已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm，宽为6cm的矩形，求该正三棱柱的体积．[分析]由正三棱柱的侧面展开图是一个矩形，知底面等边三角形的周长可能是9cm或6cm，应分情况讨论．[解]设正三棱柱的底面等边三角形的边长为acm，高为hcm.(1)当正三棱柱的底面周长为9cm时，则h＝6，且3a＝9，∴a＝3，∴S底面＝×3×3×＝(cm2)，∴V正三棱柱＝S底面·h＝×6＝(cm3)．(2)当正三棱柱的底面周长为6cm时，则h＝9，且3a＝6，∴a＝2，∴S底面＝×2×2×＝(cm2)，∴V正三棱柱＝S底面·h＝×9＝9(cm3)．故该正三棱柱的体积为cm3或9cm3.柱体的体积公式是V＝Sh，求柱体体积的关键是确定柱体的底面积和高.[变式训练1]已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S，两对角面的面积分别为m，n，求直棱柱的体积．解：设直棱柱的底面对角线长为x和y，高为h，则有∴h＝.∴V直棱柱＝Sh＝S·＝.命题视角2：圆柱的体积[例2]已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和4π的矩形，求圆柱的体积．[解]设圆柱的底面半径为R，高为h.(1)当圆柱的底面周长为6π时，高为4π，即2πR＝6π，h＝4π，所以R＝3，所以V＝πR2·h＝π·32·4π＝36π2.(2)当圆柱的底面周长为4π时，高为6π，即2πR＝4π，h＝6π，所以R＝2，所以V＝πR2·h＝π·22·6π＝24π2.故圆柱的体积为36...
