空间向量基本定理【教学目标】掌握空间向量基本定理【知识梳理】1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：//ab2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//abbab的充要条件是存在实数，使ab（唯一）4．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb．推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB�或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB�①上面①式叫做平面MAB的向量表达式．5空间向量基本定理如果三个向量cba,,不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组),,(zyx，使czbyaxp由此定理，若三向量cba,,不共面，那么空间的任一向量都可由cba,,线性表示，我们把{cba,,}叫做空间的一个基底，cba,,叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC�1【典型例题】例1已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OPxOAyOB�，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若12OPOAtOB�，那么t＝。例2．已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC�，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？解：由题意：522OPOAOBOC�，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP�，∴22APPBPC�，即22PAPBPC�，所以，点P与,,ABC共面．【练习】：对空间任一点O和不共线的三点,,ABC，问满足向量式OPxOAyOBzOC�（其中1xyz）的四点,,,PABC是否共面？解：∵(1)OPzyOAyOBzOC�，∴()()OPOAyOBOAzOCOA�，∴APyABzAC�，∴点P与点,,ABC共面．当堂检测:1.下列说法正确的是（）A.向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c共线；B.任意两个共线向量不一定是共线向量；C.任意两个共线向量相等；D.若向量a与b共线，则ab.2．A、B、C不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P、A、B、C四点()A．不共面。B．共面C．不一定共面D．无法判断3．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量。B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量24．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、D。B．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D5．设e1、e2是空间两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，且A、B、D三点共线，则k＝________.6．已知两非零向量e1、e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．7.已知32,(1)8amnbxmn，0a，若//ab，求实数.x8．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知BE＝BB1，DF＝DD1，CG＝CC1，那么A，E，G，F四点是否共面？【解】由题意知AC＝AB＋AD，CG＝CC1＝BB1＋DD1＝BE＋DF.∴AG＝AC＋CG＝AB＋AD＋BE＋DF＝AE＋AF.又AE，AF不共线，∴A，E，G，F四点共面．9．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x、y的值．(1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA；(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD3
