高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义讲义 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

向量数乘运算及其几何意义知识梳理1、向量数乘运算一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ00.2、向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.3、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.4、向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.常考题型题型一、向量的线性运算例1、化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9；(2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.变式训练化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2).题型二、在几何图形中用已知向量表示未知向量例2、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC�＝a，BD�＝b，试用a，b分别表示DE�，CE�，MN�.1变式训练如图所示，四边形OADB是以向量OA�＝a，OB�＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示OM�，ON�，MN�.题型三、共线向量定理的应用例3、(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB�＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，CD�＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP�＝xOA�＋yOB�，求x＋y的值．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB�＝λAC�，则AB�，AC�共线，又AB�与AC�有公共点A，从而A，B，C三点共2线，这是证明三点共线的重要方法．变式训练如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．课堂小测1、设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相同B．a与－λa的方向相反C．a与λ2a的方向相同D．|λa|＝λ|a|2、等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b3．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.4、已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．5、如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且AAK�＝e1，AL�＝e2，试用e1，e2表示BC�，CD�.同步练习1、下列运算正确的个数是（）①326aa；②2+23abbaa；③+22+0abba．A．0B．1C．2D．32、已知4ad，5bd，3cd，则23abc等于()A．10dB．10dC．20dD．20d33、在△ABC中，ABa�，ACb�，D是BC的中点，则AD�等于（）A.12abB.12abC.1122abD.12ab4、下面四种说法：①对于实数m和向量a，b，恒有mmmabab；②对于实数m，n和向量a，恒有mnmnaaa；③对于实数m和向量a，b，若mmab，则ab；④对于实数m，n和向量a，若mnaa，则mn．其中正确说法的个数是()A．4B．3C．2D．15、如图，已知43APAB�，用OA�，OB�表示OP�，则OP�等于()A．1433OAOB�B．1433OAOB�C．1433OAOB�D.1433OAOB�6、设R，，下面叙述不正确的是（）A．aaB．aaaC．ababD．a与a的方向相同07、设1e�与2e�是两个不共线向量，1232ABee�，12CBkee�，1232CDeke�，若A、B、D三点共线，则k的值为（）A．94B．49C．38D．不存在8、如图,△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是()A.23BGBE�B.12DGAG�C.121332DAFCBC...