3.1.3空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角如果〈a，b〉＝，那么向量a，b□互相垂直，记作□a⊥b.2．空间向量的数量积定义□已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作□a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝□λ(a·b)交换律a·b＝□b·a分配律a·(b＋c)＝□a·b＋a·c两个向量数量积的性质：(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔□a·b＝0；(2)若a与b同向，则a·b＝□|a||b|；若反向，则a·b＝□－|a||b|；特别地：a·a＝|a|2或□|a|＝；(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝□；(4)|a·b|□≤|a||b|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．()(2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.()(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()(4)在△ABC中，〈AB，BC〉＝∠B.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于()A．2BA·ACB．2AD·BDC．2FG·CAD．2EF·BC(2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则a·b＝________.(3)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________．(4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)B(2)1(3)135°(4)解析(1) AD与BD的夹角为60°，|AD|＝|BD|＝a，∴2AD·BD＝2|AD||BD|cos60°＝2×a×a×＝a2.探究1求向量的数量积例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)BF·CE.[解](1)EF·BA＝BD·BA＝|BD||BA|cos〈BD，BA〉＝×1×1×cos60°＝.(2)EF·BD＝|BD||BD|cos〈BD，BD〉＝×1×1×cos0°＝.(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD||DC|cos〈BD，DC〉＝×1×1×cos120°＝－.(4)BF·CE＝(BD＋BA)·(CB＋CA)＝[BD·(－BC)＋BA·(－BC)＋BD·CA＋BA·CA]＝[－BD·BC－BA·BC＋(CD－CB)·CA＋AB·AC]＝×＝－.拓展提升1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【跟踪训练1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积：(1)BD·AA1；(2)AE·AC；(3)EO·AC.解设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝1，|b|＝2，(1) BD＝AD－AB＝b－a，∴BD·AA1＝(b－a)·c＝b·c－a·c.又a，b，c两两互相垂直，∴b·c＝0，a·c＝0，故BD·AA1＝0.(2) AE＝AA1＋A1E＝AA1＋AD＝c＋b，又AC＝AB＋AD＝a＋b，∴AE·AC＝·(a＋b)＝|b|2＝2.(3) EO＝AO－AE＝(AB＋AD)－(AA1＋A1E)＝(a＋b)－＝a－c，又AC＝a＋b，∴EO·AC＝·(a＋b)＝a2＝.探究2利用数量积求夹角例2已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．[解]如下图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝.因为OE＝(OA＋OB)＝(a＋b)，BF＝OF－OB＝OC－OB＝c－b，|OE|＝|BF|＝，所以OE·BF＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，所以cos〈OE，BF〉＝＝－.所以异面直线OE与BF所成角的余弦值是.拓展提升由数量积求角的方法策略(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是求两个向量夹角的平移法．(2)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的...
