3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1．空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a，b，c□不共面，那么对空间任一向量p结论存在□唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc(2)基底与基向量□如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，□a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底□三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底，用□{e1，e2，e3}表示．(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的□公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的□正方向建立空间直角坐标系□Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它□平移，使它的□起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝□xe1＋ye2＋ze3.把□x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝□(x，y，z)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)向量AP的坐标与点P的坐标一致．()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面(2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．(4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则AD1的坐标为________，AC1的坐标为________．答案(1)A(2)(2，－1,3)(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)探究1基底的概念例1若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[解]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. {a，b，c}为空间的一个基底，∴a，b，c不共面，∴此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．拓展提升基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．【跟踪训练1】设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析解法一：由空间向量共面的充要条件知：若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不能作为基底．若②中，假设x，y，z共面，则z＝λx＋μy，即：c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则此方程组无解．∴x，y，z不共面，故②能作为基底．同理，③能作为基底．对④，若x，y，a＋b＋c共面，则存在实数λ，μ，使a＋b＋c＝λx＋μy＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)即此方程组无解．∴x，y，a＋b＋c不共面，故④能作为基底．解法二：如图所示，设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，a＋b＋c＝AC1，由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．探究2用基底表示向量例2如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.[解]连接AC，AC1.(1)AP＝(AC＋AA1)＝(AB＋AD＋AA1)＝(a＋b＋c)...
