3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝□(a±c)＋(b±d)i.(2)复数加法的运算律复数的加法满足□交换律、□结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝□z2＋z1；(z1＋z2)＋z3＝□z1＋(z2＋z3)．2．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ1，OZ2的□终点，并指向被减向量的向量Z2Z1所对应的复数．(3)复平面内的两点间距离公式：d＝□|z1－z2|.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，则|Z2Z1|＝|z1－z2|＝|(x1＋y1i)－(x2＋y2i)|＝|(x1－x2)＋(y1－y2)i|＝.2．复数模的两个重要性质(1)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ1对应的复数为2－3i，向量OZ2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2对应的复数为________．答案(1)6＋i(2)－11i(3)1－i1探究\s\up7()复数的加减运算例1计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解](1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.(2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i.探究\s\up7()复数加减运算的几何意义例2已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．[解]解法一：设D点对应复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)．又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，∴AC中点为，BD中点为. 平行四边形对角线互相平分，∴∴即点D对应的复数为3＋5i.解法二：设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则AD对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知AD＝BC，∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i，∴∴即点D对应的复数为3＋5i.[条件探究]若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，求第四个顶点对应的复数．[解]设1＋3i，－i,2＋i对应A，B，C三点，D为第四个顶点，则①当ABCD是平行四边形时，D点对应的复数是3＋5i.②当ABDC是平行四边形时，D点对应的复数为1－3i.③当ADBC是平行四边形时，D点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．【跟踪训练2】已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复2数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．解(1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC＝OA＋AC，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD＝BC，所以向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)，设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为BA·BC＝|BA||BC|cosB，所以cosB＝＝＝＝.所以sinB＝＝，所以S＝|BA||BC|sinB＝××＝7.所以...
