高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算（第一课时）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P81～83，思考并完成以下问题1．函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？1．几种常用函数的导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－f(x)＝f′(x)＝[点睛]对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝，则y′＝×2＝1()(2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx()(3)f(x)＝，则f′(x)＝－()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x，则y′＝x答案：D3．若y＝cos，则y′＝()A．－B．－C．0D.答案：C4．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为________．答案：y＝x＋1利用导数公式求函数导数[典例]求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[解](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y＝lgx；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.解：(1)y′＝(lgx)′＝′＝.(2)y′＝′＝xln＝－xln2.(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.(4)y′＝′＝＝－.导数公式的综合应用[典例](1)曲线y＝cosx在点P处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－B.＋C.＋D.－(2)设曲线y＝在点(2，)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A.B.C．－2D．2[解析](1)因为y′＝－sinx，切点为P，所以切线的斜率k＝y′|x＝＝－sin＝－，所以切线方程为y－＝－，令x＝0，得y＝＋，故选C.(2)因为y＝＝x，所以y′＝x－＝，所以切线的斜率k＝y′|x＝2＝，由已知，得－a＝－2，即a＝2，故选D.[答案](1)C(2)D1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤[活学活用]1．曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选C可求得y′＝x－，即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成三角形面积为××＝.2．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．解：设切点为A(x0，x＋k)． y′＝2x，∴∴故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为.层级一学业水平达标1．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.D．－ln3解析：选Cf′(x)＝axlna，由f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln3，故f′(－1)＝.2．已知f(x)＝x2·，则f′(2)＝()A．4B．0C.D．5解析：选D原函数化简得f(x)＝x，所以f′(x)＝·x，所以f′(2)＝×2＝5.故选D.3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是()A．4B．2C．16D．8解析：选A y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)．令x＝0，得y＝...