高中数学 第三章 三角恒等变换 第1节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时）两角差的余弦公式教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第1课时两角差的余弦公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P124～P127的内容，回答下列问题．(1)当α＝60°，β＝30°时，cosα－cosβ等于多少？cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)成立吗？提示：cos60°－cos30°＝，cos(60°－30°)＝，故cos60°－cos30°＝cos(60°－30°)不成立．(2)cosα－cosβ＝cos(α－β)一定成立吗？提示：不一定．(3)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？提示：A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．与的夹角是α－β.(4)根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出·的数量积各是什么？提示：①·＝||·||cos(α－β)＝cos(α－β)．②·＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(5)根据上面的计算可以得出什么结论？提示：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.2．归纳总结，核心必记两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角[问题思考]公式Cα－β在结构上有什么特点？提示：①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；②将所得的积相加．[课前反思](1)两角差的余弦公式：；(2)两角差的余弦公式的适用条件：.知识点1给角求值问题讲一讲1．求下列各式的值：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)cos15°＋sin15°.[尝试解答](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.(3) ＝cos60°，＝sin60°，∴cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.类题·通法利用公式C(α－β)求值的思路方法(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接化简求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，然后正确地顺用公式或逆用公式求值．练一练1．求下列式子的值．(1)cos(－15°)；(2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°.解：(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2) cos167°＝cos(90°＋77°)＝－sin77°，∴原式＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－.知识点2给值(式)求值问题讲一讲2．(1)若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A.B.C.D．1(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cosα的值．[尝试解答](1)由sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，得sin2α＋sin2β－2sinαsinβ＝，①cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝，②①＋②得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1.∴sinαsinβ＋cosαcosβ＝.∴cos(α－β)＝.(2) α，β为锐角，∴0<α＋β<π.又 cos(α＋β)＝>0，∴0<α＋β<，又 cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.答案：(1)A类题·通法给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．练一练2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．解：因为α，β∈，所以α＋β∈.所以cos(α＋β)＝＝.又β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.知识点3给值求角问题讲一讲3．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．[尝试解答]因为0<β<α<，所以0<α＋β<π，由cosα＝，cos(α＋β)＝－，得sinα＝，sin(α...