高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 1 圆的极坐标方程讲义（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教案VIP免费

1．圆的极坐标方程1．曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos_θ.(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．圆的极坐标方程[例1]求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．[思路点拨]结合圆的定义求其极坐标方程．[解]在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(ρ，θ)．由余弦定理知：|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|cos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cosθ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cosθ＝2rcosθ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．求圆心为C，半径为1的圆的极坐标方程．解：设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，如图，在△OCM中，由余弦定理，得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，即ρ2－2ρcos＋1＝0.当O，C，M三点共线时，点M的极坐标也适合上式，所以圆的极坐标方程为ρ2－2ρcos＋1＝0.2．求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程．解：设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－，∠BMO＝90°，从而△BOM为直角三角形．∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB即ρ＝4cos＝－4sinθ.极坐标方程与直角坐标方程的互化[例2]把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状．(1)ρ＝2acosθ(a>0)；(2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5.[解](1)两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax，整理得(x－a)2＋y2＝a2，它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ，得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，即x2＋y2＝9x＋9y，整理得2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方，得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线．两种坐标方程间进行互化时的注意点(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．3．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．解析：将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.答案：ρ＝2cosθ4．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y＝x；(2)x2－y2＝1.解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝x得ρsinθ＝ρcosθ，从而θ＝.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.5．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ＝6cosθ；(2)ρ＝2cos.解：(1)因为ρ＝6cosθ，所以ρ2＝6ρcosθ，所以化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＝0.(2)因为ρ＝2cosθcos＋2sinθsin＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.一、选择题1．极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解析：选B极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ即ρ2＝ρ·(sinθ＋cosθ)，化为直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，配方得2＋2＝...