第1课时函数的单调性[目标]1.记住函数的单调性及其几何意义,会证明简单函数的单调性;2.会用函数的单调性解答有关问题;3.记住常见函数的单调性.[重点]函数的单调性定义及其应用;常见函数的单调性及应用;函数单调性的证明.[难点]函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.知识点一增函数与减函数的定义[填一填]设函数f(x)的定义域是I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.[答一答]1.在增函数与减函数的定义中,能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”?提示:不能,如图所示:虽然f(-1)0;(3)对任意x1、x2都有>0.提示:是增函数,它们只不过是增函数的几种等价命题.3.由2推广,能否写出减函数的几个等价命题?提示:减函数(x1,x2∈M)⇔任意x1f(x2)⇔<0⇔[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0.知识点二函数的单调性与单调区间[填一填]如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.[答一答]4.函数的单调区间与其定义域是什么关系?提示:函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.5.函数f(x)=的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)吗?提示:不是.例如:取x1=1,x2=-1,则x1>x2,这时f(x1)=f(1)=1,f(x2)=f(-1)=-1,故有f(x1)>f(x2).这样与函数f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减矛盾.事实上,f(x)=的单调减区间应为(-∞,0)和(0,+∞).知识点三常见函数的单调性[填一填]1.设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),当k>0时,函数y=kx+b在R上是增函数;当k<0时,函数y=kx+b在R上是减函数.2.设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).若a>0,则该函数在(-∞,-]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数.若a<0,则该函数在(-∞,-]上是增函数,在[-,+∞)上是减函数.3.设反比例函数的解析式为y=(k≠0).若k>0,则函数y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数;若k<0,则函数y=在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上也是增函数.[答一答]6.函数y=x2-x+2的单调区间如何划分?提示:函数在(-∞,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.类型一判断或证明函数的单调性[例1]证明函数y=x+在(0,3]上递减.[证明]设01,即1-<0,∴y1-y2>0,即y1>y2.∴函数y=x+在(0,3]上递减.函数单调性的判断或证明是最基本的题型,最基本的方法是定义法,整个过程可分为五个步骤:第一步:取值.即设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x10.又由x1