高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案VIP免费

第1课时函数的单调性[目标]1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2.会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点]函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点]函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.知识点一增函数与减函数的定义[填一填]设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．[答一答]1．在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能，如图所示：虽然f(－1)0；(3)对任意x1、x2都有>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？提示：减函数(x1，x2∈M)⇔任意x1f(x2)⇔<0⇔[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0.知识点二函数的单调性与单调区间[填一填]如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f(x)＝的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？提示：不是．例如：取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f(1)＝1，f(x2)＝f(－1)＝－1，故有f(x1)>f(x2)．这样与函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减矛盾．事实上，f(x)＝的单调减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填]1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时，函数y＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若a>0，则该函数在(－∞，－]上是减函数，在[－，＋∞)上是增函数．若a<0，则该函数在(－∞，－]上是增函数，在[－，＋∞)上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)．若k>0，则函数y＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数；若k<0，则函数y＝在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示：函数在(－∞，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1]证明函数y＝x＋在(0,3]上递减．[证明]设01，即1－<0，∴y1－y2>0，即y1>y2.∴函数y＝x＋在(0,3]上递减．函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x10.又由x1