高中数学 第5章 数列章末综合提升教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修第三册数学教案VIP免费

数列[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]求数列的通项公式【例1】已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an.[解]将an＋＝2Sn变形为a＋1＝2Snan.将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得S－S＝1.由已知可求得S1＝a1＝1.∴数列{S}是等差数列，公差为1，首项为1.∴S＝1＋(n－1)·1＝n. an>0，∴Sn>0.∴Sn＝.∴n≥2时，an＝－.而n＝1时，a1＝1也适合上式．∴数列{an}的通项公式为an＝－，n∈N＋.1．定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．2．已知Sn求an若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．3．由递推公式求数列通项法(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an.(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.[跟进训练]1．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．[解]由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，…a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，即an－a1＝－.又 a1＝1，∴an＝×3n－－.显然a1＝1也适合上式，∴{an}的通项公式为an＝×3n－－.等差、等比数列的判断【例2】已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1,2,3，….(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？[解](1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，an＝an－1.又bn＝an·an＋1，则b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2，即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．所以Sn＝(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{bn}的公比为q，则＝＝＝q，且a≠0，又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列．即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，当q＝a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列．法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设{bn}的公比为q.①取a＝q＝1时，an＝1(n∈N＋)，此时bn＝anan＋1＝1，{an}、{bn}都是等比数列．②取a＝2，q＝1时，an＝bn＝2(n∈N＋)．此时{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．判定一个数列是等差或等比数列的常用方法：1定义法,an＋1－an＝dd为常数，n∈N＋⇔{an}是等差数列.,＝qq为非零常数，n∈N＋⇔{an}是等比数列.2中项法,2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋⇔{an}是等差数列.,＝anan＋2anan＋1an＋2≠0，n∈N＋⇔{an}为等比数列.3通项公式法,an＝pn＋qp，q为常数，n∈N＋⇔{an}是等差数列.,an＝c·qnc，q均为非零常数，n∈N＋⇔{an}是等比数列.4前n项和公式法,Sn＝An2＋BnA，B均为常数，n∈N＋⇔{an}是等差数列.,Sn＝kqn－kk为常数，q≠1且q≠0，n∈N＋⇒{an}是等比数列.[跟进训练]2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)求证：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题意知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)存在λ＝4满足题意．理由如下：由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4.由此可得数列中的奇数项构成的数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3＝2(2n－1)－1.数列中的偶数项构成的数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n...