高中数学 第4章 点数统计案例 4.4 一元线性回归案例讲义（含解析）湘教版选修1-2-湘教版高二选修1-2数学教案VIP免费

4．4一元线性回归案例[读教材·填要点]1．相关系数(1)定义：样本量是n的成对观测数据用(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，…，xn，用表示数据y1，y2，…，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入sxy＝－.当sxsy≠0时，称rxy＝为和的相关系数．①当rxy>0，我们称和正相关；②当rxy<0，我们称和负相关；③当rxy＝0，我们称和不相关．(2)性质：①rxy总在区间[－1,1]中取值；②当rxy越接近于1时，x增加，y也倾向于增加，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，分散在一条上升的直线附近；③当rxy越接近于－1时，x增加，y倾向于减少，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，分散在一条减少的直线附近．2．一元线性回归(1)回归直线方程：l：y＝bx＋a，其中b＝，a＝－b.(2)一元线性回归模型：若样本量n的成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中yi和xi满足关系：yi＝bxi＋a＋ei，i＝1,2，…，n，其中e1，e2，…，en表示随机误差，则称该模型为一元线性回归模型．[小问题·大思维]1．|rxy|越接近1，及越接近于0，表示两个变量x与y之间线性相关程度如何？提示：|rxy|越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；|rxy|越接近0，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常|rxy|>0.8时，认为有很强的相关关系．2．在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？提示：不唯一．y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化．3．随机误差e产生的主要原因有哪些？提示：随机误差e产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差．4．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值．利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响如饮食，是否喜欢运动等．相关性检验在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值，如下表：X(s)5101520304050607090120Y(μm)610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断X与Y的相关性．[自主解答](1)作出如图所示的散点图．从散点图可看出腐蚀深度Y(μm)与腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系．(2)相关系数rxy＝，其中sxy＝－＝362.562.sx≈34.5158，sy≈10.6971.∴rxy＝≈0.98.显然|rxy|>0.8，所以腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间有很强的线性相关关系．判断两个变量X和Y线性相关的方法：(1)画出散点图，呈条状分布，则X与Y线性相关．(2)用公式求出相关系数，据其判断X与Y的相关性．如果|rxy|>0.8，则有很强的线性相关关系．1．要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：编号12345678910x63674588817152995876y65785282928973985675用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性．解：(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图(如图)，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系．(2)因为＝70，＝76，sxy＝189.4，sx＝15.729，sy＝14.339.由rxy＝，得rxy≈0.8398>0.8.所以x与y有较强的线性关系．线性回归分析为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．[自主解答](1)由表中数据得＝5，＝4，yi＝108.5，则Sty＝－t＝1.7，S＝2.∴b＝＝0.85，a＝－b＝－0.25，∴回归方程式为y＝0.85t－0.25.(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程．如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制．2．某饮...