高中数学 第4章 点数统计案例 4.1-4.2 随机对照试验案例 事件的独立性讲义（含解析）湘教版选修1-2-湘教版高二选修1-2数学教案VIP免费

4．1&4.2随机对照试验案例事件的独立性[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则．我们称随机选取试验组的对照实验为随机对照实验，把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．事件A，B的独立当事件的全集Ω1和Ω2独立，对于A⊆Ω1和B⊆Ω2，有P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A，B独立．3．事件A1，A2，…，An相互独立如果试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的，则对A1⊆Ω1，A2⊆Ω2，…，An⊆Ωn有P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．[小问题·大思维]1．两个事件相互独立与互斥有什么区别？提示：两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．2．公式P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是什么？提示：P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提条件是事件A与事件B相互独立，同样的，只有当A1，A2，…，An相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．事件独立性的判断假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[自主解答](1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．(1)判断两个事件A，B相互独立，其依据为P(AB)＝P(A)P(B)，这是利用定量计算的方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响；没有影响就是相互独立事件，否则就不是相互独立事件．1．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？(1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；(2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；(3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．解：(1) P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，∴A与B不是相互独立事件．(2) P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B是相互独立事件．(3) P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不是相互独立事件.求相互独立事件同时发生的概率根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．[自主解答]记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解：法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(B＋A＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P(...