第2课时空间向量与垂直关系学习目标核心素养1．能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．(重点)2．掌握用向量方法证明有关空间垂直关系的方法步骤．(重点、难点)借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直．1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B[ n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α．]2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于()A．4B．－4C．2D．－2B[因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B．]3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．l1⊥l2[AB＝(1，－1,1)，u1·AB＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2．]4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．α⊥β[u1·u2＝0，则α⊥β．]用向量方法处理线线垂直问题【例1】(1)已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．(2)如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC．(1)[设M(x，y，z)，又AB＝(－1,1,0)，AM＝(x，y，z－1)，CM＝(x－1，y－2，z＋3)，由点M在直线AB上得AB与AM共线，AM＝λAB，即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，又CM⊥AB，向量CM与向量AB的数量积为0，即CM·AB＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，联立得所以x＝－，y＝，z＝1，所以点M的坐标为．](2)证明：设CA＝a，CB＝b，OP＝v．由条件知，v是平面ABC的法向量，所以v·a＝0，v·b＝0，因为D为AB中点，所以CD＝(a＋b)，因为O在CD上，所以存在实数λ，使CO＝λCD＝(a＋b)．因为CA＝CB，所以|a|＝|b|，所以AB·CP＝(b－a)·＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v＝(|b|2－|a|2)＋b·v－a·v＝0，所以AB⊥CP，所以AB⊥PC．利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种：1坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；2基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.[跟进训练]1．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN．[证明]设AB中点为O，作OO1∥AA1．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．由已知得A，B，C，N，B1， M为BC中点，∴M．∴MN＝，AB1＝(1,0,1)，∴MN·AB1＝－＋0＋＝0．∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN．应用向量法证明线面垂直【例2】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．思路探究：法一：通过证明AB1⊥BA1，AB1⊥BD，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD法二：证明AB1与平面A1BD的法向量平行．[证明]法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB，OO1，OA分别为x轴，y轴，z...
