高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算（教学用书）教案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP免费

3.1.3空间向量的数量积运算学习目标核心素养1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．1．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|向量数量积模a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2的性质|a|＝|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．1．下列各命题中，不正确的命题的个数为()①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．A．0B．3C．2D．1D[命题①②③正确，④不正确．]2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则〈A′B，B′D′〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[△B′D′C是等边三角形，〈A′B，B′D′〉＝〈D′C，B′D′〉＝120°．]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．π[cos〈a，b〉＝＝＝－．所以〈a，b〉＝π．]4．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．[AC′＝AB＋AA′＋AD，AC′2＝AB2＋AA′2＋AD2＋2AB·AA′＋2AB·AD＋2AA′·AD＝42＋52＋32＋2×4×5×cos60°＋2×4×3×cos60°＋2×5×3×cos60°＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，∴|AC′|＝．]空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()A．1B．2C．3D．4(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：①EF·BA；②EF·BD；③EF·DC；④AB·CD．(1)A[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1．](2)解：①EF·BA＝BD·BA＝|BD||BA|cos〈BD，BA〉＝cos60°＝．②EF·BD＝BD·BD＝|BD|2＝．③EF·DC＝BD·DC＝－DB·DC＝－×cos60°＝－．④AB·CD＝AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉＝cos60°－cos60°＝0．在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.[跟进训练]1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF＝________．a2[AE·AF＝·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2．](2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG·(OA＋OB＋OC)＝________．[OG＝OA＋AG＝OA＋(AB＋AC)＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝OB＋OC＋OA．∴OG·(OA＋OB＋OC)＝·(OA＋OB＋OC)＝OB2＋OC2＋OA2＝×22＋×32＋×12＝．]利用数量积证明空间的垂直关系【例2】(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a...