解三角形[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.(1)C(2)60°[(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，化简为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝＝＝＝.所以∠F1PF2＝60°.]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．[跟进训练]1．若A(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．[设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为3＋＝.]圆锥曲线的方程【例2】(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1(2)已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，且a＝2b.若|AB|＝2，求椭圆的方程．(1)C[法一：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.法二：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1.](2)[解]由消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.由Δ＝16－4(8－2b2)＞0，得b2＞2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2. |AB|＝2，∴·＝2，即·＝2，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.∴所求椭圆的方程为＋＝1.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[跟进训练]2．(1)以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是()A．y2－＝1B．x2－＝1C．－y2＝1D．－x2＝1(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．(1)D[设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，因为焦点在y轴上，所以方程可化为－＝1，由条件可知－λ－＝4，解得λ＝－3.所以双曲线方程为3x2－y2＝－3，即－x2＝1.](2)[解]由已知得＝2，所以＝4，解得＝，即双曲线的渐近线方程为y＝±x.由题意得，抛物线的准线方程为x＝－，可设A，B，从而△AOB的面积为·p·＝，解得p＝2或p＝－2(舍)．所以抛物线的标准方程为y2＝4x.圆锥曲线性质及应用【例3】(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为...
