第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程学习目标核心素养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养学生的数学运算素养.2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养.2008年9月25日21时10分，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人飞行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台阶．请问，“神舟七号”飞船的运行轨道是什么？下面请你固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．()(3)方程＋＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()[提示](1)×(2)√(3)×2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C[由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＋＝1.]4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．(－6，－2)∪(3，＋∞)[由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.]求椭圆的标准方程【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；(3)经过两点(2，－)，.[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．[跟进训练]1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．[解]法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.设所...
