2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离学习目标核心素养1.了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？点到直线和两条平行线间的距离名称点到直线的距离两平行线间的距离概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离条件点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0公式d＝d＝思考：(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？(2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？[提示](1)要求直线的方程应化为一般式．(2)两条平行直线的方程都是一般式，且x,y对应的系数应分别相等．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．()(2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．()(3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．()(4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0.()[提示](1)√(2)√(3)×(4)×2．点P(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．B．C．D．2A[d＝＝.]3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为()A．3B．2C．1D．C[d＝＝1.]4．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．－4[由＝，得m＝－4或m＝0，又 m<0，∴m＝－4.]点到直线的距离【例1】(1)已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．(2)求点P(3，－2)到下列直线的距离：①y＝x＋；②y＝6；③x＝4.(1)－1[由点到直线的距离公式得＝1，解得a＝±－1， a＞0，∴a＝－1.](2)[解]①把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.②法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.③因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．[跟进训练]1．求点P0(―1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0.[解](1)根据点到直线的距离公式得d＝＝＝2.(2)直线方程可化为x＋y―2＝0，所以d＝＝.(3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1.两条平行线间的距离【例2】(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．C．D．(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．[思路探究](1)先由l1∥l2，求出m的值，再求距离．有以下几种思路：①直接利用两平行直线间的距离公式求解；②在l1上取一点M，求点M到l2的距离；③求原点到l1与l2的距离，再利用图形，确定求和(或差)，即得所求．(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论．(1)D[ l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2.∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0.法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝.法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离d＝＝即为所求．法三：设原点O到直线l1、l2的距离分别为|OE|、|OF|，画出图形(图略)易得l1，l2之间的距离d＝|OE|＋|OF|＝＋＝.](2)[解]当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2...
