2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式学习目标核心素养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2.通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，若P(x0，y0)，同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1,2)，那么点P就是这两条直线的交点．下面我们就来研究两直线的交点问题．1．两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？[提示]可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交．()(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．()(3)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.()(4)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.()[提示](1)√(2)√(3)√(4)√2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2,2)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,1)C[由得交点坐标为(1,2)，故选C.]3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是()A．2B．3＋2C．6＋3D．6＋C[|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.]4．若直线x－ay＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点在y轴上，则a的值是________．1[直线x＋y－1＝0与y轴的交点为(0,1)，把(0,1)代入x－ay＋1＝0的－a＋1＝0解得a＝1.]两条直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.[解]法一：(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合．(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.法二：(1) kl1＝2，kl2＝－，kl1≠kl2，∴l1与l2相交，由得故l1与l2的交点为(3，－1)．(2)由＝＝，知l1与l2重合．(3)l2方程为2x＋y－3＝0，由＝≠知两直线l1与l2平行．两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．[跟进训练]1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()A．k＞－B．k＜2C．－＜k＜2D．k＜－或k＞2C[法一：由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.故选C.法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2.由得又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2.]两点间距离公式【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[思路探究]先把三个顶点描在平面直角坐标系中，观察出三角形的形状，再用距离公式及斜率的关系验证．[解](1)如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．法一： |AB|＝＝2，|AC|＝＝，|BC|＝...
