高中数学 第2章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（教师用书）教案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.(重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．(难点)4.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1.通过学习平面向量数量积的学习，培养学生的数学抽象素养.2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cosθ；②a在b的方向上的投影为|a|cosθ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝求夹角cosθ＝不等关系a·b≤|a||b|4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A.B.C．1D．－A[a·b＝1×1×cos60°＝.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.C[由条件可知，cosθ＝＝＝，又 0≤θ≤π，∴θ＝.]3．已知单位向量a，b夹角为，则|a－b|＝________.1[单位向量a，b夹角为，则|a－b|＝＝＝1.]4．己知|a|＝1，(a＋b)⊥a，则a·b＝________.－1[|a|＝1，(a＋b)⊥a，可得：a2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.]向量数量积的计算及其几何意义【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a－b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)[设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cosθ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e－e1·e2＝2－1×1×cos＝.](2)[解]①(a－b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤1求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；2分别求|a|和|b|；3求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：1b在a方向上的投影为|b|cosθθ为a，b的夹角，a在b方向上的投影为|a|cosθ.2b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为[跟进训练]1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．(2)设正三角形ABC的边长为，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解](1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2) |a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.思路点拨：灵活应用a2＝|a|2求向量的模．(1)2[|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝＝2.](2)[解]因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10...