高中数学 第2章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量的数量积的几何意义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养了学生数学建模和数学抽象的核心素养.2.通过向量数量积的运算学习，提升了学生数学运算和数据分析的核心素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．特别地，零向量与任一向量的数量积等于0．思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cosθ；②a在b的方向上的投影为|a|cosθ．(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝求夹角cosθ＝不等关系a·b≤|a||b|4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()1A．B．C．1D．－A[a·b＝1×1×cos60°＝.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A．B．C．D．C[由条件可知，cosθ＝＝＝，又 0≤θ≤π，∴θ＝.]3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于．[a·b＝|a||b|cos60°＝2××＝.]4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为．2[设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cosθ＝，所以a·b＝|b||a|cosθ＝3×＝2.]向量数量积的计算及其几何意义【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是．(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a－b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)[设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cosθ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e－e1·e2＝2－1×1×cos＝.](2)[解]①(a－b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：2①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．(2)设正三角形ABC的边长为，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解](1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2) |a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝．(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.思路点拨：灵活应用a2＝|a|2求向量的模．(1)2[|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝＝2.](2)[解]因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°...