11.4.2平面与平面垂直学习目标核心素养1.了解二面角、面面垂直的定义．(重点)2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养．2．借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？(2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？1．二面角概念平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.图示二面角定义在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂的平面角直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]规定二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.2.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．(3)面面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β(4)面面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言⇒a⊥β图形语言思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示]相交或平行．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．()(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．()(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．()[提示](1)正确．(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．[答案](1)√(2)×(3)×2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB[A中，α，β还可能平行或相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β还可能平行或相交，所以D不正确．故选B．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．垂直[因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，所以BD⊥平面AA1C1C．因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD．]4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝.所以∠C1OC＝30°.]二面角的求解【例1】如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．[思路探究]求二面角EBDC的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．[解]因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC．又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC．又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所...
