11.1.6祖暅原理与几何体的体积学习目标核心素养1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解“祖暅”原理，将空间问题转化为平面问题．(重点、难点)2．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点)1.通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养数学运算核心素养．2．借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，他在总结前人研究的基础上，总结出祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实．1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h棱锥Sh锥体圆锥πr2h台体棱台h(S＋＋S′)圆台πh(r2＋r′＋r′2)球πR31．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．()(3)由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．()[答案](1)×(2)√(3)√2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A．15πB．30C．12πD．36πC[圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.]3．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积()A．缩小为原来的B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．不变A[设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2×h，当圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的时，圆锥的体积V′＝π××3h＝×.所以圆锥的体积缩小为原来的.故选A．]4．若一个球的直径是12cm，则它的体积为________cm3.288π[由题意，知球的半径R＝6cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)．]求柱体的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．[解]V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．柱体体积问题的处理方法求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．[跟进训练]1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解]设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有由①得r＝a，由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.求锥体的体积【例2】如图，三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比．[思路探究]―→―→―→―→[解]设棱台的高为h，S△ABC＝S， AB∶A1B1＝1∶2，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VBA1B1C＝V台VA1ABCVCA1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积比为1∶2∶4.割补法与等积法求锥体体积三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．[跟进训练]2．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥DACD1的体积是()A．B．C．D．1A[三棱锥DACD1的体积VDACD1＝VD1ACD＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2....
