10.2.2复数的乘法与除法学习目标核心素养1.能进行复数代数形式的乘法和除法运算．(重点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(重点、难点)3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集．(难点)通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.数系扩充后，在复数系中规定的加、减运算与原来的实数系中规定的加、减运算协调一致．思考：你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？(1－2i)×(3＋4i)＝？1．复数的乘法(1)定义一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(3)运算性质zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.(其中m，n∈N*)．(4)i的乘方运算性质i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.[拓展](1)若规定i0＝1，i－m＝(m∈N*)，则i的幂的周期性可推广到整数，即m∈Z时上式都成立．(2)利用i的幂的周期性可解决i的高次幂问题．(5)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．2．复数的除法(1)定义如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．(2)意义一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝.(3)复数倒数运算设z＝a＋bi，则＝，且＝.(4)复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝＋i.3．实系数一元二次方程在复数范围内的解集一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚数根，则x1＋x2＝－，x1x2＝.()(2)若复数z的共轭复数为z，z＝a＋bi，则z·z＝a2＋b2.()(3)若z∈C，则z2＝|z|2.()[答案](1)√(2)√(3)×2．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于()A．1B．－1C．D．－B[ (m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0.得m3＋1＝0，即m＝－1.]3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝()A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2iB[法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(2a＋b)i，由已知及复数相等的条件得，解之得故选B．法二：z＝＝＝＝2－i.]4．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．2[ i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.]复数代数形式的乘法运算【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.(1)D(2)C(3)5－5i[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2) z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.故选C．(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]复数乘法运算的方法与常用公式(1)两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.[跟进训练]1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝__________.4＋3i或－4－3i[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i. z1·z2是纯虚数，∴解得或∴z1＝4＋3i或...
