第10章复数10.1复数及其几何意义10.1.1复数的概念学习目标核心素养1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)3．理解复数的代数表示法．(重点)4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)通过复数的概念学习，提升数学抽象素养.第一次认真讨论复数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论复数的，当时复数也被称为“诡辨量”．几乎过了100年笛卡尔才给出这种“虚幻之数”取了个名字——虚数．又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i(imaginary，即虚幻的缩写)来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他仍感到这种数虚无缥缈.1830年高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数．到今天复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数量工具之一．如复数在流体力学、热力学、机翼理论等领域都有广泛应用，它已渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支，随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，在证明机翼上升力的基本定理中起了重要作用，并在解决堤坝渗水问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．思考：我们如何正确理解虚数单位i?1．复数的概念及分类(1)数系的扩充及对应的集合符号表示→→→→↓↓↓↓↓N―――→Z――→Q――――→R――――→C[拓展]数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用；(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的问题．(2)复数的有关概念(3)复数的分类①复数a＋bia，b∈R②集合表示2．两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.思考：两个实数可以比较大小，复数集中不全是实数的两个数能否比较大小？为什么？[提示]不能比较大小，如i和0.若i＞0，则i·i＞0·i，即－1＞0，不成立．若i＜0，则i·i＞0·i，即－1＞0，不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．()(3)bi是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A．－2B．C．－D．2D[复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.]3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．1，－1[ (x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]4．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝________.1[ z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，∴解得a＝1.]复数的概念【例1】(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)(一题两空)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.(3)下列命题正确的是__________(填序号)．①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．(1)B(2)±5(3)③[(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只...
