定积分在物理中的应用【教学目标】1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．【教法指导】本节学习重点：能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．本节学习难点：学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．【教学过程】☆探索新知☆探究点一变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？例1一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．解由速度－时间曲线可知：v(t)＝因此汽车在这1min行驶的路程是：s＝3ʃtdt＋ʃ30dt＋(ʃ－1.5t＋90)dt＝t2|＋30t|＋(－t2＋90t)|＝1350(m)．答汽车在这1min行驶的路程是1350m.反思与感悟(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在时刻t＝4时，该点的位置；(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．解(1)由(ʃt2－4t＋3)dt＝(－2t2＋3t)|＝知，在时刻t＝4时，该质点离出发点m.(2)由v(t)＝t2－4t＋3>0，1得t∈(0,1)∪(3,4)．这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s＝|ʃt2－4t＋3|dt＝(ʃt2－4t＋3)dt＋(4ʃt－t2－3)dt＋(ʃt2－4t＋3)dt＝4.即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4m.探究点二变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？例2如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50m，BC＝40m，CD＝30m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(≈1.732，≈1.414，精确到1J)解在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos45°.由变力做功公式得：W＝ʃcos30°dx＋ʃcos45°dx＋600＝|＋|＋600＝＋450＋600≈1723(J).所以物体由A运动到D变力F所做的功为1723J.反思与感悟解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．答使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功为22.5J.☆课堂提高☆1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6s间的运动路程为()．A．46mB．46.5mC．87mD．47m【答案】B2【解析】s＝63(3t＋2)dt＝＝(54＋12)－＝46.5(m)．2.从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.gB.gC.gD．2g【答案】C【解析】h＝ʃgtdt＝gt2|＝g.3．一物体从A处向B处运动，速度为1.4tm/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35m/s，则AB间的距离为()A．120mB．437.5mC．360mD．480m【答案】B【解析】从A处到B处所用时间为25s.所以|AB|＝ʃ1.4tdt＝0.7t2|＝437.5(m)．4．如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10cm，拉力所做的功为()A．0.5JB．1JC．50JD．100J【答案】A5．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．【解析】(1)设A到C经过t1s，由1.2t1＝24得t1＝20(s)，∴AC＝2001.2tdt＝0.6t2＝240(m)．(2)设从D―→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，∴DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝＝280(s)．于是所求...
