1.4.2用空量研究距离、夹角问题学习目标核心素养1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)已知a，b为非零向量，它们的夹角为θ，那么cosθ＝cos〈a，b〉＝.(2)空间中有三种角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角和两个平面的夹角．(3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距．利用直线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、线面和面面的平行、垂直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离呢？1．空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos|＝平面α与平面β的夹角为θ设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos|＝思考：直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示]设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则θ＝2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设AP＝a，则点P到直线l的距离d＝点面距已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．()(3)平面α和β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．()[提示](1)×(2)×(3)×2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．150°D．120°B[设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝60°，应选B.]3．两平行平面α，β分别经过点O(0,0,0)和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是________．[两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，OA＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝.]4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为________．45°[cosθ＝＝＝，由于θ∈，∴θ＝45°.]距离问题【例1】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．[思路探究]→→利用点到平面的距离公式求解[解]取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以BC＝(1，，0)，BM＝(0，，)，BA＝(0,0,2)．设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．又BA＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝.求点到平面的距离的四步骤[跟进训练]1．在长方体OABCO1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．[解]法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，AD＝(x－2，y，0)，O1D＝(x，y，－2)， AC＝(－2,3,0)，O1D⊥AC，AD∥AC，∴解得∴D，∴|O1D|＝＝.即O1到直线AC的距离为.法二：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，∴AO1＝(－2,0,2)，AC＝(－2,3,0)，∴AO1·AC＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，∴AO1在AC方向上的投影为＝，∴O1到直线AC的距离d＝＝.求两条异面直线所成的角【例2】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值...
