高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程教案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学教案VIP专享VIP免费

2.3.2圆的一般方程示范教案\s\up7()教学分析教材利用圆的标准方程推导出了圆的一般方程，并讨论了二元二次方程与圆的关系，值得注意的是在教学中引导学生分析圆的两种方程形式的特点和各自适用的范围．三维目标1．掌握圆的一般方程的特点，培养分类讨论的数学思想．2．会求圆的方程，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：圆的一般方程及其与标准方程的互化．教学难点：对条件“D2＋E2－4F>0”的理解．课时安排1课时\s\up7()导入新课设计1.写出圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将圆的标准方程展开并整理，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.如果设D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得到方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．能不能说方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课学习的内容．设计2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式．推进新课1前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？,2这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？,3给出式子x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.,4把式子x－a2＋y－b2＝r2与x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后的式子比较，得出x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件.,5对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：(1)以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、……)展开整理而得到的．(2)我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．(3)把式子x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得(x＋)2＋(y＋)2＝.(4)(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，r>0时表示圆，r＝0时表示点(a，b)，r<0时不表示任何图形．因此式子(x＋)2＋(y＋)2＝.①当D2＋E2－4F>0时，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；1②当D2＋E2－4F＝0时，方程仅有一组实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定是圆，只有当D2＋E2－4F>0时，它表示的曲线才是圆．因此x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0.我们把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程称为圆的一般方程．(5)圆的一般方程形式上的特点x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项．圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．思路1例1将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；(2)4x2＋4y2－8y＋4y－15＝0.解：(1)对方程左边配方，方程化为(x＋2)2＋(y－3)2＝25.所以圆心的坐标为(－2,3)，半径为5.(2)方程两边除以4，得x2＋y2－2x＋y－＝0.方程左边配方，得(x－1)2＋(y＋)2＝5.所以圆心的坐标为(1，－)，半径为.变式训练1．圆x2＋y2－4x－8y＝0的圆心坐标是________，半径r＝________.答案：(2,4)22．圆x2＋y2＋Dx＋4y＋1＝0的半径r＝4，则D＝________.答案：±2例2求过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.根据题设条件，用待定系数法确定D，E，F.因为点A，B，C的圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组解这个方程组，得于是得到所求...