圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以+=1（a﹥b﹥0）为例）1、⊿ABF2的周长为4a(定值)证明：由椭圆的定义即2、焦点⊿PF1F2中：（1）S⊿PF1F2=（2）（S⊿PF1F2）max=bc（3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大证明：（1）在中 ∴∴∴（2）（S⊿PF1F2）max=（3当=0时有最小值即∠F1PF2最大3、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长交于，连接由已知有为中点∴==所以M的轨迹方程为4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为 =∴圆与圆内切∴以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，则∣IR∣：∣IP∣=e1xyoF1F22PxyoF1F2PMxyoF1F2PxyoF11F2AB证明：连接由三角形内角角平分线性质有 ∴6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。 ∴∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：（∣PA∣+∣PF2∣）max=2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min=2a-∣AF1∣证明：连接 ∴∴（∣PA∣+∣PF2∣）max=2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min=2a-∣AF1∣8、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则（∣PA∣+）min=A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有∴（∣PA∣+）min==A到右准线的距离.9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上。证明：令☉I与⊿PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A ∴ ∴ ∴ ∴∴即为椭圆顶点。2xyoF1F2PIIIRyxoF1F2ABxyoFA·xyoF1F2PNIIA2IMxyoF1F2PPA·∴焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q证明：令P,Q到准线的距离为由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q11、证明：令1:当的斜率存在时，设直线方程为 ∴∴=2:当的斜率存在时，∴12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则（定值）证明：令，3xyoF1F2EKQPxyoFBAxyoFBAP则 ，∴∴13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣=a2证明：∴ 由于、、共线∴ 由于B1、、N共线∴∴ ∴14、椭圆的长轴端点为A1、A2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，则M、N与对应准线的焦点张角为900证明：令，∴ 由于、、共线∴4xyoNMB2PB1xyoFNA2PA1M 由于共线∴∴ ∴ ∴∴M、N与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点。证明：设则的方程为即必过点16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于直线的法向量为： ∴同理2 同理∴∴即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。5（1）•F1•F2PyxoM1F2AByxoF1F2Plm二、双曲线的几何性质（均以为例：）（1）焦点三角形面积：(2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小的圆与外切。(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交(5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccos(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+＝－2a(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，＋等于A到右准线的距离（9）、焦点到渐近线的距离等于b(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值（11）、P是弦AB中点K．K＝定值（12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值ab(13)、过P的切线平分∠F1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点6•F1•F2PMxy（2）F1F2Ayx(4)BF1F2Pyx(5)IF1F2Pyx(7)AF1F2Pyx(8)ABF1F2Pyx(9)F1F2Pyx(10)ABF1F2Pyx(11)ABOF1F2Pyx(3)F1F2Pyx(12)MONy•F1•F2PMx（13）12F1F2Byx(6)CAMN（14）双曲线与渐近线把平面分成5部分双曲线上的点渐近线上...
