圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题VIP专享VIP免费

圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又xAy112MNBO圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在，使．练习2.直线与曲线相交于P、Q两点。（1）当a为何值时，；（2）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解：（1）联立方程，，即，设P、Q两点的坐标为，所以，化简得即为所求。（3）假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，二、是否存在这样的点例2.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22（I）求a，b的值；（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OPOAOB�成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（Ⅰ）设,0,cF当l的斜率为1时，其方程为Ocyx,0到l的距离为2200cc，故222c，1c，由33ace，得3a，22cab=2（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立。由（Ⅰ）知椭圆C的方程为22x+23y=6.设).,(),,(2211yxByxA(ⅰ))1(xkylxl的方程为轴时，设不垂直当假设C上存在点P，且有OPOAOB�成立，则）点的坐标为（2121,yyxxP，6)(3)(2221221yyxx，整理得6643232212122222121yyxxyxyx632,63222222121yxyxCBA上，即在、又故03322121yyxx①将并化简得代入,632)1(22yxxky0636)32(2222kxkxk②于是2221326kkxx,21xx=223263kk,2221221324)2)(1(kkxxkyy，代入①解得，22k，此时2321xx于是)2(2121xxkyy=2k，即)2,23(kP因此，当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为；当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为。（ⅱ）当l垂直于x轴时，由)0,2(OBOA知，C上不存在点P使OBOAOP成立。圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品综上，C上存在点)22,23(P使OBOAOP成立，此时l的方...