圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性(存在性)问题(一)存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件和结论不完备,要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括,它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求,特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题,也就是是否存在定值定点定直线的问题。一、是否存在这样的常数例1.在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.(I)求的取值范围;(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,代入椭圆方程得.整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,解得或.即的取值范围为.(Ⅱ)设,则,由方程①,.②又.③而.所以与共线等价于,将②③代入上式,解得.圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.练习1:(08陕西卷20).(本小题满分12分)已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.解法一:(Ⅰ)如图,设,,把代入得,由韦达定理得,,,点的坐标为.设抛物线在点处的切线的方程为,将代入上式得,直线与抛物线相切,,.即.(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,.由(Ⅰ)知.轴,.又xAy112MNBO圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品.,解得.即存在,使.解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得.由韦达定理得.,点的坐标为.,,抛物线在点处的切线的斜率为,.(Ⅱ)假设存在实数,使.由(Ⅰ)知,则,,,解得.圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在,使.练习2.直线与曲线相交于P、Q两点。(1)当a为何值时,;(2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。解:(1)联立方程,,即,设P、Q两点的坐标为,所以,化简得即为所求。(3)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O,二、是否存在这样的点例2.(2009全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22(I)求a,b的值;(II)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OPOAOB�成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。解:(Ⅰ)设,0,cF当l的斜率为1时,其方程为Ocyx,0到l的距离为2200cc,故222c,1c,由33ace,得3a,22cab=2(Ⅱ)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OBOAOP成立。由(Ⅰ)知椭圆C的方程为22x+23y=6.设).,(),,(2211yxByxA(ⅰ))1(xkylxl的方程为轴时,设不垂直当假设C上存在点P,且有OPOAOB�成立,则)点的坐标为(2121,yyxxP,6)(3)(2221221yyxx,整理得6643232212122222121yyxxyxyx632,63222222121yxyxCBA上,即在、又故03322121yyxx①将并化简得代入,632)1(22yxxky0636)32(2222kxkxk②于是2221326kkxx,21xx=223263kk,2221221324)2)(1(kkxxkyy,代入①解得,22k,此时2321xx于是)2(2121xxkyy=2k,即)2,23(kP因此,当2k时,)22,23(P,022yxl的方程为;当2k时,)22,23(P,022yxl的方程为。(ⅱ)当l垂直于x轴时,由)0,2(OBOA知,C上不存在点P使OBOAOP成立。圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品综上,C上存在点)22,23(P使OBOAOP成立,此时l的方...