第30卷第6期2009年11月喀什师范学院学报JournalofKashgarTeachers山11e罗V61.30No.6Nov.2009Maxwen方程的四维张量形式及其协变性郭亮(喀什师范学院物理系,新疆喀什844007)摘要:在Minkowskj空间内,导出普遍情形下的Maxwel方程组的四维协变形式,并证明方程在Lorentz变换下具有协变性.关键词:张量;Maxwel方程;助rent:变换;协变性中图分类号:0442文献标识码:A文章编号:1006一432X�2009�06一0043一03时空本质上是四维的,物理量应是四维空间的点函数.四维空间的坐标系选取不同时,物理量的值一般也不同,但狭义相对性原理要求表示物理定律的数学形式应在四维空间坐标变换下保持不变,因此只有将物理定律写为四维张量方程才能使得方程形式在四维空间坐标变换下保持不变,从而符合相对论的基本要求.本文将在Minkowski空间内利用四维张量的运算规则,导出普遍情形下的Maxwel方程组的四维协变形式,使方程在Lorent:变换下具有协变性.1介质中的Maxwel方程组的微分形式A与标势甲统一为四维矢势A,.川几=(J,i甲),A,一(,含*),几和A,为四维矢量,其中标量p和中正好作为几和A,的第四个分量.由于电磁场场量(E,B)有6个分量,显然不能构成四维矢量,但是可以想办法构成四维张量.根据电磁场场方程可知,电磁场量(E,B)可由电磁势(A,目表出,即B=甲xA,(5)介质中的Maxwell方程组可显式地写为:川!一,*一器写出式(5)的分量式,可得∀.了∀.了1勺白了.∀了∀∀二xE=一翼.dtB一=甲XH=∀∀.了∀∀,声内4J万了∀了.∀又7#D二又7#B=aDJ+下于口IP,0,式(1)(2)(3)(4)为介质中普适的电磁场基本方程,使用于任意介质.当磁化强度与极化强度为零时,即M=P=0,则方程组回到真空情况下的Maxwell方程组.BZ=B3=aA3aAZaxZax3∃aA1aA3ax3axl∃aA2aAIax1axZ(6)在Minkowski空间内时空坐标表为x,一(二ict),利用x;=ict可写出式(6)的分量式为2电磁场张t电流是电荷的运动效应,而电荷电流是电磁势和电磁场的激发源.因此,有理由将电荷密度p与电流密度矢量J统一为四维电流密度矢量吞,矢势aA4aAIax1ax4∃aA4aAZaxZax4∃aA48A3ax3ax4(7)收稿日期:2009一09一11作者简介:郭亮(1971一),男,副教授,主要从事电磁理论教学与研究工作.喀什师范学院学报第30卷类比于B的各分量与三维矢势A的三维旋度的分量的关系,显然式(6)与式(7)将反映的是一止召和CB的各分量与四维矢势A,的四维旋度的各分量间的关系.根据张量的运算规则知四维矢量的四维旋度构成一个四维张量.定义四维电磁场张量:二_丛_丛占尸一众,众,一尸~,巫哥业十旦气升十煞群业一J4(尝一尝卜旦篆业一Jl,(尝一尝,尸髻黔2一Jz,(尝一尝,十旦芸丝一Ja.(11)类比电磁场张量凡,的引人方式,可引人一个四维张量,使得P和M由该张量的各分量表出.定义四维极化一磁化张量岭%,具体表示出来就是,cPcPcP其中p,,二1,2,3,4.该张量共有16个分量,电磁场量E和B可由该张量的分量表出.电磁场张量凡,是一个反对称张量,即凡卜=一F,,将电磁场张量爪写成矩阵形式则有M=0B3一BZ一M3M2一icPM30一M-一icPZ一MZMl0一icP3∀.月.,..,舟人飞�#寺%#寺%#寺%0一B30BI由于在一般情况下,介质在极化的同时伴随着磁化,它们一般是不能独立存在的,只有在静电场或静磁场单独存在时两者才可分开考虑;理论上极化强度与磁化强度只是四维极化一磁化张量的各分量,因此四维极化一磁化张量引人在理论研究中更有普适性.利用式(12)可将式(9)写为飞�八UJ上%,一压BZ一bi勺,翔2CC1.&.,..t一F3四维极化一磁化张t在时变电磁场的作用下,介质在极化的同时也会伴随磁化,也就是说在时变电磁场的作用下介质中会出现极化电荷脚∀极化电流J,及磁化电流而.根据电磁理论有:[3]旦生_;8x,一产=一甲#P,a尸一at∃=7火M,(8)式中P为极化强度矢量,M为磁化强度矢量.若令p=即,J=寿+JM,则式(8)可写为此即为介质极化磁化的四维形式.4介质中的Maxwell方程组的四维协变形式根据电磁理论可知,在有介质存在时可引人两个辅助矢量(电位移矢量D和磁场强度H)来研究电磁场,它们的形式分别为:D=%E+P,(13)P石八!|,∀l|一M(14)B内一一!一甲∃P一!∃卜x%+豁#J(9)由于在电磁场的作用下,极化电荷内∀极化电流寿及磁化电流介是伴随出现的,故可类比四维电流密度矢量将极化电荷∀极化电流及磁化电流统一用一个...
