差异、正难则反(四)VIP专享VIP免费

§8差异分析策略任何数学问题都存在不同形式的差异，没有差异就无须解题，解题过程实质上就是不断寻找差异和不断消除问题的条件和解题目标之间的差异、逐步达到条件与结论和谐统一的转化过程。我们在解题时常常会碰到题目的条件与结论间在其形式、结构、图形或数字间存在着差异。实践告诉我们，学生解题失败的一个重要原因，就是碰到一个问题时不知从何处着手，实质是找不到题中应消除的差异，使思维无法展开。若将条件与结论间的差异称之为目标差,那么我们解题的关键就在于设计一个使目标差不断减小的方案。发现了题中隐含的主要差异，思维就有了起点，解题就可找到突破口。在使用差异分析策略解题时寻找差异是基础消除差异是目标转化差异是关键所谓差异分析策略,就是通过分析条件和结论之间的差异,并不断减少目标差(条件与结论之间的差异)来完成解题的策略。差异分析是证明三角恒等式问题的常用技巧。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，达到和谐统一美。“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。例1在ABC中,求证sinsinsin4cos.222ABCABCcoscos分析左边是和的形式,右边是乘积的形式;左边是单角,右边是半角;左边是正弦,右边是余弦.如果由左边向右边转化,转化的手段是:和差化积和利用2倍角公式.sinsinsinABC证0sinsinsin180()ABAB2sin2222ABABABABcos+2sincos2sin)222ABABAB(cos+cos01802sin222CAB2coscos04sin(90)222CABcoscos4cos222ABCcoscos在使用差异分析策略解题时,需要先找出差异，接下来，寻求二者之间的联系，在它们中间搭上一条解题的通道。这就需要我们针对具体的问题，不断地变换思维的视觉，纵横联系知识体系，全方位多角度的思考问题，以使“寻找差异、发现差异、消除差异”的解题方案快速形成。2sinsin21tan()tan.1mmm例已知，求证：12.()2()分析：比较题设和结论，题设中有、，结论中有、为消除角的差异，需作和的变角,即可.121.mm分析：由结论中的想到，将条件写成比例形式，用合分比定理消除已知和求证间的差异2,,,,,,.abcABCaAbBcCk例3正数满足条件求证:aB+bC+cAaB,bC+cAAC+Ac=(c+C)A=kA,,,,,,,.aAbBcCAbA如果把中的最大者记为则可以成立,kCcBbAa,kPQR作边长为的正,,,LMN分别在各边上取点,,,,,,QLALRaRMBMPbPNCNQc使,LRMMPNNQLPQRSSSS由000201111sin60sin60sin60sin60,2222aBbCcAk即2.aBbCcAk分析3：两个正数乘积的最简单的几何意义可看作是一个几何图形的面积．又有使我们联想到以k为边长的正三角形，构造几何图形如下：差异分析的各个方面不是孤立的,它们既有区别又有联系,有时在一个题目中就含有多方面的目标差,因此,在确定变换的方向和所用公式时,要以消除某方面的差异为主,同时兼顾其他方向差异的统一。2(),aaaaa)(8cos[()]5cos[()]0aaaa0sin)(si...