抽样分布与参数估计VIP专享VIP免费

第二节抽样分布一、样本平均数的抽样分布二、样本比例的抽样分布一、样本平均数的抽样分布（一）样本平均数的期望值与方差在放回抽样的情形下，设从总体中抽出的样本为nxxx,,,21，其是相互独立的，并且与总体服从同一分布。设总体均值为，方差为2，则可推导出样本平均数的期望值与方差、标准差分别为：12()()1()()()12nnX+X++XEXEnEXEXEXn（5.7）2122122()1()()()nxnXXXDnDXDXDXnn（5.8）nx（5.9）【例5-3】计算例5-2中10名推销员平均的任职年限及其标准差，并与例5-2求得的样本平均数的期望值与方差作比较。解：(12+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5222(15.5)(25.5)(105.5)/102.87228E(X)5.52.87228/22.0310xn在不放回抽样的情况下，数学上可以证明，其样本平均数的期望值同样等于总体的期望值。而样本平均数的标准差为：12NnNnx(5.10)上式中的N为总体单位数。与放回抽样相比，这里多了一个NnNnN11，这个系数称为不放回抽样的修正系数。由于该系数在0，1之间，因此，不放回抽样的标准差比放回抽样小。当N远大于n时，修正系数近似1，修正与否对平均误差几乎没有影响，这时可以不考虑抽样方式差异，都按放回抽样处理。（二）样本平均数的分布规律当总体X服从正态分布时，根据正态分布的再生定理，样本平均数服从正态分布，即2~(,)XXN。当总体不服从正态分布时，根据中心极限定理，只要样本容量n足够大，样本平均数X仍近似地服从正态分布2(,)XN。一般来说，当总体分布接近正态分布时，所需的样本容量n可以较小，反之则需要较大的样本容量。通常将样本单位数不少于30的称为大样本。二、样本比例的抽样分布(一)样本比例的期望值与方差设随机变量X服从二点分布，其总体平均数为，又称为总体比例，总体方差)()(12。现对其进行n次独立重复观测，得到下列样本：(X1，X2，…，Xn)，其中，观测结果为“成功”的次数是N1。我们把样本中“成功”的次数所占比例定义作样本比例P。1NPn（5.11）根据上一章的介绍，我们知道，N1服从二项分布，它的数学期望是n，方差是(1)n。利用这一结果与期望值的计算规则，可得：1NnEPEnn（5.12）22(1)(1)11VNNnVPVnnnn（5.13）在不放回抽样条件下，有关结论与样本平均数相类似，即()EP(5.14)(1)1pNnnN(5.15)当N很大，而抽样比%5/Nn时，其修正系数1NnN趋于1，这时样本比例的方差也可不必修正，可直接用（5.13）式来计算。【例5-5】从某地区6000名适龄儿童中用不放回抽样方法抽取400名儿童，其中有320名儿童入学，求样本入学率的标准差。解：%P80400320(1)1pNnnN(1)1PPnNN80%20%40011.9324006000（二）样本比例的分布规律中心极限定理表明，当n充分大时，样本比例近似服从正态分布(1),Nn。这里大样本的条件是：n和n(1-)都要大于等于5。实际工作中，当0.10.9，n符合表5-5要求的大小时，就可以认为P近似服从正态分布。由于总体参数通常并不知道，所以，实际总体是否符合表中所列情况，可以用样本比例来近似判断。表5-5用正态分布来近似时对样本量的要求总体参数0.500.450.400.350.300.250.200.150.101－0.500.550.600.650.700.750.800.850.90样本量至少为n3637384043485771100（三）样本方差的抽样分布对于来自正态总体的样本容量为n的简单随机样本，统计量22(1)nS服从自由度为)1(n的2分布，即222)1(sn~)1(2n（5.16）【例5-6】某企业生产一种零件，已知其直径服从正态分布，总体的标准差为0.01毫米。现随机抽查36个零件，试求其样本标准差大于0.012的概率。解：222)1(sn=2235(0.012)50.40.01利用ExcelCHIDIST函数，可方便地求得这一概率。CHIDIST（50.4，35）=P(x