第1章教材习题解答VIP免费

第1章质点运动学1.1一质点沿直线运动，运动方程为x(t)=6t2-2t3．试求：（1）第2s内的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．解：（1）质点在第1s末的位移大小为x(1)=6×12-2×13=4(m)．在第2s末的位移大小为x(2)=6×22-2×23=8(m)．在第2s内的位移大小为Δx=x(2)–x(1)=4(m)，经过的时间为Δt=1s，所以平均速度大小为=Δx/Δt=4(m·s-1)．（2）质点的瞬时速度大小为v(t)=dx/dt=12t-6t2，因此v(1)=12×1-6×12=6(m·s-1)，v(2)=12×2-6×22=0，质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs=Δx=4m．（3）质点的瞬时加速度大小为a(t)=dv/dt=12-12t，因此1s末的瞬时加速度为a(1)=12-12×1=0，第2s内的平均加速度为=[v(2)-v(1)]/Δt=[0–6]/1=-6(m·s-2)．[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1.2一质点作匀加速直线运动，在t=10s内走过路程s=30m，而其速度增为n=5倍．试证加速度为．并由上述数据求出量值．证：依题意得vt=nvo，根据速度公式vt=vo+at，得a=(n–1)vo/t-------(1)根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as，得a=(n2–1)vo2/2s-------(2)(1}平方之后除以(2)式证得．计算得加速度为=0.4(m·s-2)．1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g=10m·s-2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解：方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0=v0sinθ=24.87(m·s-1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt-v0=at，这里的v0就是vy0，a=-g；当他达到最高点时，vt=0，所以上升到最高点的时间为t1=vy0/g=2.49(s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2-v02=2as，可得上升的最大高度为h1=vy02/2g=30.94(m)．170m22.5º图1.3他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2=h1+h=100.94(m)．根据自由落体运动公式s=gt2/2，得下落的时间为=4.49(s)．因此他飞越的时间为t=t1+t2=6.98(s)．他飞越的水平速度为vx0=v0cosθ=60.05(m·s-1)，所以矿坑的宽度为x=vx0t=419.19(m)．（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy=gt=69.8(m·s-1)，落地速度为v=(vx2+vy2)1/2=92.08(m·s-1)，与水平方向的夹角为φ=arctan(vy/vx)=49.30º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得．这里y=-70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t=6.98(s)．由此可以求解其他问题．1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．证：（1）分离变量得，积分，可得．（2）公式可化为，由于v=dx/dt，所以积分．因此．证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f=f(v)，根据牛顿第二定律得f=ma．由于a=d2x/dt2，而dx/dt=v，所以a=dv/dt，分离变量得方程，解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt=-kvn．2（1）如果n=1，则得，积分得lnv=-kt+C．当t=0时，v=v0，所以C=lnv0，因此lnv/v0=-kt，得速度为v=v0e-kt．而dv=v0e-ktdt，积分得．当t=0时，x=0，所以C`=v0/k，因此．（2）如果n≠1，则得，积分得．当t=0时，v=v0，所以，因此．如果n=2，就是本题的结果．如果n≠2，可得，读者不妨自证．1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ=2+4t3．求：（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解：（1）角速度为ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1)，法向加速度为an=...