前期回顾�微分同胚：�同胚：一一对应的连续映射�f和其逆映射f-1均是光滑的如何验证？连续可微1.）可逆（nrank.2=∂∂∂∂xfxf()）为微分同胚映射（函数由反函数定理可知xfy=非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院12012/4/12前期回顾�李导数()()()()⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎤⎡∂∂∂∂xfxfhhhh21�李括号()()()()⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂=xffxhxhxhxfxhxhLmfML221�李括号()⎦⎣xfm⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂−∂∂==gxffxggadgff],[()()()()⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎤⎢⎡∂∂∂−⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎤⎢⎡∂∂∂=xgxgfffxfxfgggLL2121()()⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎦⎢⎣∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎦⎢⎣∂∂∂=xgxxxxfxxxmmmmMLML2121非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院22012/4/12前期回顾�对合性若对Δ(x)的任何两个向量场τ1，τ2均有[τ1，τ2]∈Δ(x)，则称Δ(x)为封闭的，对合性仅对空间而言，不依赖于基向量的选取习题23(1)：习题2.3(1)：314213⎪⎬⎫⎪⎨⎧⎟⎟⎞⎜⎜⎛⎟⎟⎞⎜⎜⎛-xx3312-213⎪⎬⎫⎪⎨⎧⎟⎟⎞⎜⎜⎛⎟⎟⎞⎜⎜⎛-xx;23,01-3223⎪⎭⎪⎬⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝−⎟⎟⎠⎜⎜⎝xxx;23,033223⎪⎭⎬⎪⎩⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝−⎟⎟⎠⎜⎜⎝xxx非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院32012/4/12⎭⎩前期回顾�Frobenius定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的的充要条件是它是对合的个独立解存在dnxXxXj≡∂0))()((λ非线性系统能控性判别的理论基础个独立解存在dnxXxXxd−≡∂0))(),...,((1非线性系统能控性判别的理论基础非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院42012/4/12非线性控制系统理论与应用第三章稳定性理论基础第三章稳定性理论基础2012/4/12非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院5本章掌握的重点内容：�李亚普诺夫稳定性定理从能量的角度来判定系统稳定性�拉萨尔不变性原理拉萨尔不变性非严格负定函数非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院62012/4/12稳定性问题的意义�什么是稳定性问题：＊渐近稳定性＊�稳定性问题的意义稳定性问题的义�通用的稳定性判别依据：“最小总能量法则”则Torricelli，Laplace和Lagrange，LyapunovLaSalleLyapunov，LaSalle非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院72012/4/12Lyapunov稳定性定理�第一方法：通过寻求描述系统运动规律的微分方程的解或特解以级数形式将它表微分方程的解或特解，以级数形式将它表示出来，进而研究其稳定性问题。�Lyapunov直接法或第二方法：不需考虑微分方程解的具体形式，而仅借助于一个所谓的李雅普若夫函数或V函数及根据该函数沿系统的导数符号来直接判断稳定性。非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院82012/4/12稳定性概念自治系统时不变系统()()）（其中3.10,,,,00≥∈==tRxxtxtxfxn&�自治系统/时不变系统()ttxf不明显依赖于时间,�系统状态的变化和时间没关系完全由系统内部结构决定()ttxf不明显依赖于时间,�完全由系统内部结构决定�线性系统和非线性系统：()()xtAtxf?,=非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院92012/4/12平衡点�平衡点()()）（其中3.10,,,,00≥∈==tRxxtxtxfxn&()*�平衡点�平衡解()0,,0*≡>∀txft如果f(x,t)对x是李普西茨(Lipschitz)连续的，即对某一h>0存在l≥0满足下列条件|f(1t)f(2t)|l|12|(32)|f(x1,t)-f(x2,t)|≤l|x1-x2|(3.2)那么对所有t,x(t)≡x*的就被称为是平衡解。注意①平衡解≠平衡点注意：①平衡解≠平衡点；②原点作为系统平衡点非线性控制系统理论与应用华南理工大学自动化学院102012/4/12稳定平衡点()()）（其中310≥∈==tRxxtxtxfxn&如果(3.1)初始状态在非常靠近原点的邻域内运动轨迹(t)也能够保持在原点的()()）（其中3.10,,,,00≥∈==tRxxtxtxfx0x域内，运动轨迹x(t)也能够保持在原点的适当小的邻域内，则称x=0是系统的稳定平衡点平衡点。如果f满足李普西茨且分段连续，且从原点邻域内l(0)l(0)的x0出发的解都保持在|x0|el(t-t0)≥|x(t)|≥|x0|e-l(t-t0)的范围内，就称为稳定平衡点。用引推得(可用Bellman-Gronwall引理推得)非线性控制...
