第一节 度量空间,n维欧氏空间VIP免费

第二章点集简介第二章点集简介§1.度量空间，n维欧氏空间§1.度量空间，n维欧氏空间§2.聚点，内点，界点§2.聚点，内点，界点§3.开集，闭集，完备集§3.开集，闭集，完备集§4.直线上的开集，闭集，§4.直线上的开集，闭集，完备集的构造完备集的构造引言引言第一章叙述了集合的概念及其运算，第一章叙述了集合的概念及其运算，那里的集合只提到其中的元素，以及元素的那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限，可数无限，不可数无限等等），个数（有限，可数无限，不可数无限等等），没有涉及集合各个元素之间的着某种关系，没有涉及集合各个元素之间的着某种关系，距离”、“实数之间可以引进四则运算”等。都距离”、“实数之间可以引进四则运算”等。都是集合内部的一种结构。所谓空间:是一类具有某种结构的集合。本章将研究一种特殊的集合--空间中的点集本章将研究一种特殊的集合--空间中的点集例如：实直线R构成一维空间、“任意两点间有例如：实直线R构成一维空间、“任意两点间有是其中的结构。本章着重研究n维欧氏空间。是其中的结构。本章着重研究n维欧氏空间。§1.度量空间，n维欧氏空间都有唯一确定的实数都有唯一确定的实数xy0xy，0xyxyxzyz且满足且满足,,xyzR11xy22称称xy为x与y的距离。为x与y的距离。两点间距离定义条件结论,,,xyzX(,)0,(,)0dxydxyxy(,)(,)(,)dxydxzdyz设x是任意一个非空集合，设x是任意一个非空集合，唯一确定的实数d(x,y)与之对应且满足唯一确定的实数d(x,y)与之对应且满足2（三点不等式）2（三点不等式）都有都有1（非负性）1（非负性）称d(x,y)是x,y之间距离。称(X,d)为度量称d(x,y)是x,y之间距离。称(X,d)为度量空间（或距离空间）空间（或距离空间）度量空间定义条件结论XX间，称为(X,d)的子空间。间，称为(X,d)的子空间。设X是度量空间，则X中度量d具有对称性设X是度量空间，则X中度量d具有对称性定义：定义：如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空事实上，在定义1中，令z=x，再由1）有事实上，在定义1中，令z=x，再由1）有d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x)d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x)由x,y次序是任意的,知d(y,x)≤d(x,y)由x,y次序是任意的,知d(y,x)≤d(x,y)所以,d(y,x)=d(x,y).所以,d(y,x)=d(x,y).设X是度量空间，则X中度量d具有对称性设X是度量空间，则X中度量d具有对称性已知：(X,d)是度量空间,已知：(X,d)是度量空间,,xyX(,)(,)dxydyx求证：求证：由1)可知，由1)可知，证明：证明：(,)0dxx在三点不等式中,取在三点不等式中,取,zx有有(,)(,)(,)(,)dxydxxdyxdyx由于x和y的次序是任意的，同理可证,由于x和y的次序是任意的，同理可证,(,)(,).dyxdxy(,)(,)dxydyx即即下面我们举一些度量空间的例子。下面我们举一些度量空间的例子。欧氏空间欧氏空间nR1212(,,,),(,,)nnxy122(,)(())1ndxyiii规定距离规定距离例1例1对对中任意两点中任意两点nR222()()()111nnnababiiiiiii2由柯西不等式2由柯西不等式得到得到2222222()2211111111nnnnnnnnabaabbaabbiiiiiiiiiiiiiiiiii证明：证明：由度量空间定义可知由度量空间定义可知1显然成立。1显然成立。222()11nnabiiii____________,axzbzyiiiiii2222()[()()]111nnnxyxzzyiiiiiiiiii222(,)()()()111nnndxyxyxzzyiiiiiiiii代入上式代入上式两边开方得两边开方得令令=d(x,z)+d(y,z)=d(x,z)+d(y,z)(,)(,)(,)dxydxzdzy所以，所以，即即是度量空间。是度量空间。nR'(,)maxxyiii'(,)1nxyiiinR距离的另两种表示法距离的另两种表示法称为n维欧氏空间.d称为欧几里得距离。称为n维欧氏空间.d称为欧几里得距离。,)(nRd1122邻域及其基本性质1邻域定义：1邻域定义：的点的全体，即集合的点的全体，即集合00{(,)}PdPP0P中所有...