2019-2020年人教B版数学必修四讲义:第2章+2.3+2.3.1向量数量积的物理背景与定义+2.3.2向量数量积的运算律及答案-1-/112.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律学习目标核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.(重点)3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)1.通过向量的夹角、向量数量积概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养.2.通过向量数量积的应用,培养学生的数学运算核心素养.1.向量的夹角定义已知两个非零向量a和b,作OA→=a,OB→=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.范围0°≤θ≤180°特例θ=0°a与b同向θ=180°a与b反向θ=90°a与b垂直,记作a⊥b,规定零向量可与任一向量垂直2.向量的数量积向量在轴上的正射影.已知向量a和轴l,如图.2019-2020年人教B版数学必修四讲义:第2章+2.3+2.3.1向量数量积的物理背景与定义+2.3.2向量数量积的运算律及答案-2-/11(1)正射影的概念:作OA→=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量O1A1→叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影);(2)正射影的数量:该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.OA→=a在轴l上正射影的坐标记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ,则由三角函数中的余弦定义有al=|a|cosθ.3.平面向量数量积的定义|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积,记作|a||b|cos〈a,b〉.4.数量积的性质(1)若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos〈a·e〉.思考1:向量的数量积与数乘向量的区别是什么?[提示]向量的数量积a·b是一个实数,不考虑方向;数乘向量λa是一个向量,既有大小,又有方向,这是二者的区别.(2)若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b,通常记作a⊥b?a·b=0.思考2:a·b=0与ab=0的区别是什么?[提示](1)意义和表达方式不同.a·b表示两个向量的数量积,中间的“·”不能省略,也不能写成“×”.(2)推出的结果不同.由a·b=0可推出以下四种可能①a=0,b=0,②a=0,b≠0,③a≠0,b=0,④a≠0,b≠0,但a⊥b.而ab=0可推出a与b中至少有一个为0.(3)|a|=a·a.(4)cosθ=a·b|a|·|b|.(|a|·|b|≠0)(5)对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立.2019-2020年人教B版数学必修四讲义:第2章+2.3+2.3.1向量数量积的物理背景与定义+2.3.2向量数量积的运算律及答案-3-/111.已知|a|=3,向量a与b的夹角为π3,则a在b方向上的投影为()A.332B.322C.12D.32D[向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=3×cosπ3=32.故选D.]2.在△ABC中,AB→=a,BC→=b,且b·a=0,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定C[在△ABC中,因为b·a=0,所以b⊥a,故△ABC为直角三角形.]3.如图,在△ABC中,AC→,AB→的夹角与CA→,AB→的夹角的关系为________.互补[根据向量夹角定义可知向量AB→,AC→夹角为∠BAC,而向量CA→,AB→夹角为π-∠BAC,故二者互补.]与向量数量积有关的概念【例1】(1)以下四种说法中正确的是________.(填序号)①如果a·b=0,则a=0或b=0;②如果向量a与b满足a·b<0,则a与b所成的角为钝角;③△ABC中,如果AB→·BC→=0,那么△ABC为直角三角形;④如果向量a与b是两个单位向量,则a2=b2.(2)已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上的正射影的数量为________,b在a方向上的正射影的数量为________.(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4,则BA→·BC→=________.[思路探究]根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.2019-2020年人教B版数学必修四讲义:第2章+2.3+2.3.1向量数量积的物理背景与定义+2.3.2向量数量积的运算律及答案-4-/11(1)③④(2)-125-4(3)8[(1)由数量积的定义知a·b=|a||b|·cosθ(θ为向量a,b的夹角).①若a·b=0,则θ=90°或a=0或b=0,故①错;②若a·b<0,则θ为钝角或θ=180°,故②错;③由AB→·BC→=0知B=90°,故△ABC为直角三角形,故③正确;④由a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正确.(...