第1章集合、映射与运算1.1集合的有关概念习题1.11.用列举法表示下列集合:(1)}065,R|{2=+-Îxxxx.(2)}N|2{Îxx.解(1)}3,2{}065,R|{2==+-Îxxxx.(2),...}2,...,6,4,2,0{}N|2{xxx=Î.2.写出35的所有因数集合及D35.解35的所有因数集合为{-35,-7,-5,-1,1,5,7,35}，D35={1,5,7,35}.3.比较集合Æ,{Æ}和{{Æ}}的不同之处.解Æ是空集，它里面没有元素;{Æ}是由空集Æ组成的集合，它里面有一个元素Æ;{{Æ}}里面有一个元素为{Æ}，但{Æ}与Æ是不同的.4.判定下列断言是否成立，说明理由:(1)ÆÍÆ.(2)ÆÎÆ.(3)ÆÍ{Æ}.(4)ÆÎ{Æ}.解(1)成立，因为空集是任意集合的子集.(2)不成立，因为空集中不含任意元素.(3)成立，因为空集是任意集合的子集.(4)成立，因为{Æ}含有元素Æ.5.设A和B是集合，试举出使BAÎ且BAÍ同时成立的例子.解例如},{baA=，}},,{,,{cbabaB=，这时BAÎ且BAÍ同时成立.6.对于任意集合CBA,,，判定下列断言是否成立，说明理由:(1)若BAÍ且CBÎ，则.CAÏ(2)若BAÍ且CBÎ，则.CAÍ(3)若BAÎ且CBÎ，则.CAÎ(4)若BAÎ且CBÎ，则.CAÍ解(1)不成立.例如，},{baA=，},,{cbaB=，}},,{},,{,,{cbababaC=，这时有BAÍ且CBÎ，而.CAÎ(2)不成立.例如，},{baA=，},,{cbaB=，}},,{},,{,{cbababC=，这时有BAÍ且CBÎ，而CAÍ不成立.(3)不成立.例如，},{baA=，}},,{{cbaB=，}},,{},},,{{,{cbacbabC=，这时有BAÎ且CBÎ，而CAÏ(4)不成立.例如，},{baA=，}},,{{cbaB=，}},,{},},,{{,{cbacbabC=，这时有BAÎ且CBÎ，而CAÍ不成立.7.分别计算分别计算(1)P(P(Æ)).(2)P({a,b,c}).(3)}}),,({{cbaP.解(1)因为P(Æ)={Æ}，所以P(P(Æ))={Æ，{Æ}}.(2)P({a,b,c})={Æ,}},,{},,{},,{},,{},{},{},{cbacbcabacba.(3)}}),,({{cbaP={Æ,}}},,{{cba}.8.试用乘法原理证明定理1-4.证设},...,,{21nxxxS=，对于S的任意子集A，S中的元素1x可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式；同样，在元素1x定下来以后，在考虑S中的元素2x，它可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式；…；一直下去，对于S中的最后一个元素nx，它可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式.于是，根据乘法原理知，S的子集共有nn22...22=×××个.9.证明定理1-5.证根据笛卡尔积的定义知，},|),{(ByAxyxBAÎÎ=´.由于这样的有序对),(yx的第一位置元素AxÎ有m种选取方式，第二位置元素ByÎ有n种选取方式，因此根据乘法原理，BA´中的有序对共有mn个，所以mnBA=´||.10设}3,2,1{},,{==BbaA，试计算，试计算.)(,,,,ABAABAABBAAA´´´´´´´解计算结果分别为计算结果分别为)},(),,(),,(),,{(bbabbaaaAA=´.)}3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,{(bbbaaaBA=´.)},3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1{(bababaAB=´.),,3,(),,3,(),,2,(),,2,(),,1,(),,1,{(baaabaaabaaaABA=´´)},3,(),,3,(),,2,(),,2,(),,1,(),,1,{(bbabbbabbbab.),),3,((),),3,((),),2,((),),2,((),),1,((),),1,{(()(baaabaaabaaaABA=´´)}),3,((),),3,((),),2,((),),2,((),),1,((),),1,{((bbabbbabbbab.11.对于任意集合CBA,,，由CABA´=´能否得出CB=，为什么？，为什么？若¹AÆ?解若=AÆ，取},{baB=，},{dcC=，根据笛卡尔积的定义知=´BAÆ且=´CAÆ，这时CABA´=´，但CB¹.若¹AÆ，则存在元素AaÎ，这时由CABA´=´可以得出CB=:对于任意BxÎ，因为BAxa´Î),(，所以CAxa´Î),(，根据笛卡尔积的定义知CxÎ，即有CBÍ.同理可得BCÍ.故CB=.12设nS=||，给出一种列出S的所有子集的方法.解设},...,,{21nxxxS=，将S的所有子集A用长度为n的0，1字符串表示，其中字符串的第i位取1的充要条件是AxiÎ.于是，可以按从小到大的顺序列出所有长度为n的0，1字符串，再写出对应的子集，就可以将S的所有子集A列举出来.注此方法可用计算机实现.
