2760-动态经济学01VIP专享VIP免费

〖数理经济学〗董志勇经济学院第10讲动态经济学（1）动态分析：其目的是探寻和研究变量的具体时间路径，或者是确定在给定的充分长的时间内，这些变量是否会趋向收敛于某一（均衡）值。动态分析的一个显著特征是确定．．变量的时间．．，这就把时间．．因素明确纳入分析范围。有两种方式可以做到这一点：我们可以将时间视为连续．．变量，也可以将其视为离散．．变量。在前一种情况下，变量在每一时点．．都要发生某些变化（如在连续计算复利时那样）；而在后一种情况下，变量仅在某一时段内．．．才发生某些变化（如仅在每六个月末才计入利息）。这两个不同的时间概念在不同的内容中各具优势。第一节动态学与积分一般而言，静态模型中的问题是要求满足某些特定均衡条件的内生变量的值。把静态学应用于最优化模型时，任务变成求使目标函数最大化（或最小化）的选择变量的值――而一阶条件充当均衡条件。与此相对照的是，动态模型涉及的问题是，在已知变化模式的基础上（比如，给定瞬时变化率），描述某些变量的变化时间路径。例：假设已知人口规模H随时间以速率1/2dHtdt（10.1）变化。则我们要求的是：人口()HHt的何种时间路径可以产生（10.1）的变化率？我们现在面临的问题是要从已知的导数．．求出原函数．．．。在数学上，我们现在需要与微分学完全相反的方法，这种方法称作积分法．．．或积分学．．．。下面我们将对其进行研究。我们知道:1/2()2Htt确实有形式（10.1）的导数，因此显然可以作为问题的解。但还存在类似的函数，如1/2()2Htt+10或1/2()2Htt+90，更一般地，1/2()2Htt+c(c=任意常数)（10.2）他们均与（10.1）有完全相同的导数。这样就不能确定唯一的时间路径，除非常数值c能以某种方式确定下来。为此，模型必须以所谓初始条件．．．．或边界条件．．．．的形式，引入额外的信息。如果我们知道初始人口(0)H（即H在0t）时的值，假设(0)H＝500，则常数c的值就可以确定了。令（10.2）中的0t，得到则500c更一般地，对于任意给定初始人口(0)H，时间路径将为人口问题的例子虽然简单，但却揭示了动态经济学问题的实质：给定变量随时间变化的行为模式，设法求出描述变量时间路径的函数。在此过程中，我们将遇到一个或多个任意常数，但我们若有充分的形式为初始条件．．．．的额外信息，就有可能确定那些任意常数的值。相对简单的问题，比如上面给出的例子，解可用积分方法求出。积分时一种由已知导函数反求原函数的方法。在更复杂的情况中，我们可以借助于微分方程．．．．的方法。第二节不定积分、定积分和广义积分2.1不定积分我们讲一元函数的微分运算，就是由给定的函数求出它的导数或微分。但在研究许多问题的时候，往往需要解决和微分运算正好相反的问题，就是函数的导数已知，而要求这个函数，这种运算就叫做求原函数，也就是求不定积分。我们把函数()fx的原函数的一般表达式称为()fx的不定积分．．．．，记为()fxdx。这里，()fx称为被积函数．．．．，“”称为积分号．．．。于是我们便可以写出()()()()dFxfxfxdxFxcdx其中c为任意常数。2.2定积分在实践中我们经常要计算这样或那样的量。例如，要计算一个由曲线围成的图形的面积，要计算一个几何体的体积，要计算一个密度不均匀的物体的质量等等。以计算曲边梯形面积为例，所要计算的图形可以实很不规则的，怎么办？退一步，先求近似值。例如，若我们试图度量由曲线()yfx和横坐标轴围成的，位于定义域中a和b两点的面积S（图10-1）.首先，还是求近似值，将区间n,ab划分为n个子区间（长度可以不相等。在下图中每个矩形的高度等于函数在该矩形中可达到的最大值，第i个矩形块的高度为()ifx，宽为ixV。我们记这组矩形的总面积为S，则它显然不是我们要求的曲线下面的面积，只是曲线下面积的一个近似而已。S的真实值与S的差别在于矩形块中未加阴影的部分；这部分使S大于S。但是如果n趋于无限大时，ixV无限缩小，这样就可以缩减矩形块的面积S并使其趋于S。在极限的情况下就是1lim()limniinnifxxSSV2.3广义积分某些积分被称作“广义积分”。我们将简要讨论其中的两种类型。无穷极限积分当我们有形如()afxdx和()bfxdx的定积分，其...