概率论 第一章 第三节VIP免费

第一章第四节古典概率模型I.什么是古典概率模型如果试验E满足(1)试验结果只有有限种，(2)每种结果发生的可能性相同。则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。II.古典概率模型中事件概率求法因试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个:1,2,…,n，其中S={1}∪{2}∪…∪{n}，{i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。于是，有1=P(S)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…n。从而，P({i})=1/n，i=1,2,…n。因此，若事件A包含k个基本事件，有P(A)=k(1/n)=k/n。III.古典概型的例例1：掷一颗均匀骰子，设:A表示所掷结果为“四点或五点”；B表示所掷结果为“偶数点”。求:P(A)和P(B)。解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。例2：解:货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲,3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自同一产地的概率。从15件商品中取出2商品,共有C215=105种取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。令A={两件商品都来自产地甲},kA=C212=66,B={两件商品都来自产地乙},kB=C23=3，而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥,AB∪包含基本事件数66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。例3：有外观相同的三极管6只,按电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只,(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样);(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽到两只不同类三极管}。求：P(A),P(B),P(C),P(D)。解:(1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管共有66=36种可能的取法。从而,n=36。注意:这种分析方法使用的是中学学过的乘法原理因每个基本事件发生的可能性相同,第一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。所以,取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法,即kA=16。故P(A)=16/36=4/9；令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4。故P(E)=4/36=1/9;因C是E的对立事件，故P(C)=1-P(E)=8/9；因B=A∪E,且A与E互斥,得P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件,得P(D)=1-P(B)=4/9。(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30种可能的取法。由乘法原理,得kA=43=12,P(A)=12/30=2/5;kE=21=2，P(E)=2/30=1/15;由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15；由B=A∪E,且A与E互斥,得P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的对立事件,得P(D)=1-P(B)=8/15。教材例2解:例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球”的概率。因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放入N个盒子中共有Nn种不同的放法。每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法原理得):N(N-1)…(N-n+1)=ANn种。故，P(A)=ANn/Nn。设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365)个人,则他们生日各不相同的概率为A365n/365n。于是,n个人中至少有两人生日相同的概率为1-A365n/365n。许多问题和上例有相同的数学模型。例如(生日问题):某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997经计算可得下述结果：把n个物品分成k组,使第一组有n1个,第二组有n2个,…,第k组有nk个,且n=n1+n2+…+nk。则:不同的分组方法有公式!!!!21knnnn种。解:例5:某公司生产的15件产品中,有12件正品,3件次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件，设:A={每箱中恰有一件...