第三节等比数列及其前n项和【考纲下载】1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义＝q(q是常数且q≠0，n∈N＋)或＝q(q是常数且q≠0，n∈N＋且n≥2)通项公式an＝a1qn－1＝am·qn－m前n项和公式Sn＝等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.(2)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．(3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k…，为等比数列，公比为qk.1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的充要条件吗？提示：不是．b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．若a≠0，则数列a，a2，a3…，，an…，的前n项和为Sn＝吗？提示：不一定．当a＝1时，Sn＝na1＝n；当a≠1时，Sn＝.1．(·江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6…，的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：选A由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24.2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于()A．－B．－2C．2D.解析：选D a2＝2，a5＝，∴＝＝＝q3，∴q＝.3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝()A．10B．25C．50D．75解析：选B a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝4＋a，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4n＋a)－(4n－1＋a)＝4n－4n－1＝3×4n－1.又 该数列为等比数列，∴4＋a＝3×40，即a＝－1.答案：－15．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.解析： 8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即＝－8.∴q3＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝＝－11.答案：－11考点一等比数列的判定与证明[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．[自主解答]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.＝＝＝＝2， S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．【互动探究】保持本例条件不变，若cn＝，证明：{cn}是等比数列．证明：由例题知，bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，∴－＝3.∴数列是首项为2，公差为3的等差数列．∴＝2＋(n－1)×3＝3n－1，∴an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2.∴＝＝2.∴数列{cn}为等比数列．【方法规律】等比数列的判定方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2…＋＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm解析：选Cbn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2…＋＋qm－1)，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，选项A、B均错误；cn＝a·q1＋2…＋＋(m－1)，＝＝m＝(qm)m＝qm2，故数列{cn}为等比数列，公比为qm2，D错误，故选C.高频考点考点二等比数列的基本运算1．等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．2．高考对等比数列的基本运算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求通项；(2)化基本量求特定...
